固体化学と結晶学

六方晶の単位格子の基本ベクトルが、原点 O を始点として、直交座標で
$${\vec{a}}_1=(a,0,0),{\vec{a}}_2=\left(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}a,0\right),{\vec{a}}_3=(0,0,c)$$
で与えられている。ただし $a>0$, $c>0$ である。この単位格子の体積 $V=|{\vec{a}}_1\cdot ({\vec{a}}_2\times {\vec{a}}_3)|$ を $a$, $c$ を用いて表せ。

酸化鉄(II) は、鉄イオンの位置の一部が空孔になった不定比化合物 ${\mathrm{Fe}}_{1-x}\mathrm{O}$ として得られることが多い。ある試料の組成が ${\mathrm{Fe}}_{0.90}\mathrm{O}$ であった。この結晶中の鉄イオンは $\mathrm{F}{\mathrm{e}}^{2+}$ と $\mathrm{F}{\mathrm{e}}^{3+}$ だけであり、酸化物イオンはすべて ${\mathrm{O}}^{2-}$ で、結晶全体は電気的に中性であるとする。鉄イオン全体のうち $\mathrm{F}{\mathrm{e}}^{3+}$ が占める物質量の割合を、既約分数で求めよ（$0.90$ は正確な値とみなす）。

格子定数 $a=0.600\mathrm{nm}$ の立方晶の結晶がある。この結晶の $(221)$ 面の面間隔 $d_{221}$ は何 nm か。立方晶の面間隔の式 $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$ を用いて求め、正確な値（分数または小数）で答えよ（$0.600$ は正確な値とみなす）。

半径 $r_{+}$ の陽イオンが、半径 $r_{-}$ の 6 個の陰イオンがつくる正八面体の中心にあり、6 個の陰イオンすべてと接している（配位数 6）。陽イオンを小さくしていくと、やがて陰イオンどうしも互いに接するようになる。この限界の状態では、正八面体の中心を通る 1 つの平面上に、4 個の陰イオンが正方形の頂点の位置に並び、正方形の辺の両端の陰イオンどうしが接し、正方形の中心にある陽イオンが 4 個の陰イオンすべてと接している。イオンはすべて球とみなす。この限界の状態での半径比 $\frac{r_{+}}{r_{-}}$ を求めよ。

電気量 $+e$ の陽イオン 3 個と $-e$ の陰イオン 4 個の計 7 個が、一直線上に間隔 $r_0$ で、隣り合うイオンの符号が交互になるように並んでいる。中央（端から 4 番目）のイオンは陽イオンで、両端のイオンは陰イオンである。この 7 個だけからなる配列で、中央の陽イオンがほかの 6 個のイオンから受けるクーロンエネルギーの和を
$$U=-\frac{M{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_0}$$
の形に表したときの定数 $M$ を、既約分数で求めよ。ただし ${\epsilon }_0$ は真空の誘電率であり、電荷 $q_1$, $q_2$ の 2 つの点電荷が距離 $r$ だけ離れているときのクーロンエネルギーは $\frac{q_1{q}_2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$ とする。

ある半導体のバンドギャップは $E_g=3.10\mathrm{eV}$ である。この半導体の光吸収の吸収端の波長 $\lambda$ は何 nm か。吸収端では光子 1 個のエネルギーがバンドギャップに等しいとし、$hc=1240\mathrm{eV}\mathrm{nm}$ を用いて求めよ（与えた数値は正確な値とみなす）。

ある単体の結晶は単純六方格子をとり、単位格子の基本ベクトルは直交座標で
$${\vec{a}}_1=(a,0,0),{\vec{a}}_2=\left(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}a,0\right),{\vec{a}}_3=(0,0,a)$$
である（$a>0$。$c$ 軸の長さも $a$ に等しい）。原子は単位格子の頂点（分率座標 $(0,0,0)$）にだけあり、単位格子 1 つあたり 1 個の原子を含む。原子を半径 $r$ の球とみなし、最近接の原子どうし（距離 $a$）が接しているとき、この結晶の充填率を正確な値で求めよ。

格子定数 $a=0.400\mathrm{nm}$ の立方晶の結晶に、波長 $\lambda =0.200\mathrm{nm}$ の X 線を当てる。$(200)$ 面による回折がブラッグの式 $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$ を満たす視射角 $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）を、弧度法で求めよ。ただし立方晶の面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$ であり、与えた数値は正確な値とみなす。

立方晶の化合物 AB の単位格子には、原子 A が分率座標 $(0,0,0)$ に 1 個、原子 B が分率座標 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ に 1 個ある（塩化セシウム型構造）。原子 A, B の原子散乱因子をそれぞれ $f_{\mathrm{A}}$, $f_{\mathrm{B}}$（実数）とする。構造因子
$$F_{hkl}=\sum _j{f}_j{e}^{2\pi i(h{x}_j+k{y}_j+l{z}_j)}$$
を用いて、$(210)$ 反射の構造因子 $F_{210}$ を $f_{\mathrm{A}}$, $f_{\mathrm{B}}$ で表せ。ただし $i$ は虚数単位である。

あるイオン結晶の 1 mol あたりのポテンシャルエネルギーを、イオン間距離 $r$（$r>0$）の関数として
$$U(r)=-\frac{A}{r}+\frac{B}{r^9}$$
と表す。ただし $A>0$, $B>0$ は定数で、第 1 項はクーロン引力（マーデルング定数を含む）、第 2 項は反発を表す。結晶は $U(r)$ が極小となるイオン間距離 $r=r_0$ で安定に存在し、そのときのクーロン項の値は $\frac{A}{r_0}=900\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ である。$U(r_0)$ は何 $\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ か（与えた数値は正確な値とみなす）。

格子定数 $a=0.300\mathrm{nm}$ の体心立方格子をとる単体の金属の粉末に、波長 $\lambda =0.150\mathrm{nm}$ の X 線を当てて粉末 X 線回折パターンを測定する。体心立方格子では、$h+k+l$ が奇数の反射は消滅し、$h+k+l$ が偶数の反射だけが観測される。面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$、回折の条件はブラッグの式 $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$ とし、$\sin \theta <1$ となる回折線だけが観測されるものとする。同じ $h^2+k^2+l^2$ の値をもつ反射は同じ角度に重なって 1 本の回折線になるとして、観測される回折線は何本か。ただし $h,k,l$ は整数で、$(h,k,l)\ne (0,0,0)$ とする。

格子定数 $a=0.400\mathrm{nm}$ の単純立方格子を考える。単位格子の 1 つの頂点を原点 O とし、単位格子の 3 本の辺に沿って $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸をとる。ある格子面が $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸とそれぞれ点 $\mathrm{P}\left(\frac{a}{2},0,0\right)$、$\mathrm{Q}(0,a,0)$、$\mathrm{R}(0,0,a)$ で交わっている。この格子面のミラー指数 $(hkl)$ で表される面の族について、隣り合う面の間隔 $d_{hkl}$ を $\mathrm{nm}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。ただし、立方晶の面間隔は
$$d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$$
で与えられるものとする。

ある金属 X の結晶は体心立方格子をとり、単位格子（立方体）の 8 個の頂点と立方体の中心に X 原子が 1 個ずつ位置している。単位格子の 1 辺の長さは $a=0.330\mathrm{nm}$ である。X のモル質量を $92.9\mathrm{g}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$、アボガドロ定数を $N_A=6.02\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ として、この結晶の密度を $\mathrm{g}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。ただし、結晶には欠陥がないものとする。

イオン結晶を、陽イオンと陰イオンが変形しない剛体球であるとみなして考える。陰イオンの半径はどれも $r_{-}$ で等しいとする。

• 6 配位: 陽イオンが、6 個の陰イオンの中心を頂点とする正八面体の中心にある。
• 8 配位: 陽イオンが、8 個の陰イオンの中心を頂点とする立方体の中心にある。

それぞれの配位について、陽イオンがまわりのすべての陰イオンに接し、さらに正八面体の辺（6 配位）または立方体の辺（8 配位）で結ばれたとなりどうしの陰イオンも互いに接している状態を「限界の状態」とよぶ。6 配位と 8 配位の限界の状態での陽イオンの半径をそれぞれ $r_6$, $r_8$ とするとき、比 $\frac{r_8}{r_6}$ を求めよ。答えは分母に根号を含まない形で、できるだけ簡単にして答えよ。

2 種類の半導体 $\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ からなる混晶半導体 ${\mathrm{P}}_{1-x}{\mathrm{Q}}_x$（$x$ は $0\le x\le 1$ を満たす実数で、$\mathrm{Q}$ の組成比を表す）を考える。この混晶のバンドギャップ $E_{\mathrm{g}}(x)$ は、ボーイングパラメーター $b$ を用いて
$$E_{\mathrm{g}}(x)=(1-x)E_{\mathrm{P}}+x{E}_{\mathrm{Q}}-bx(1-x)$$
で表されるとする。ここで $E_{\mathrm{P}}=1.40\mathrm{eV}$、$E_{\mathrm{Q}}=2.40\mathrm{eV}$、$b=0.60\mathrm{eV}$ である。

この混晶は $0\le x\le 1$ の全範囲で直接遷移型であり、光吸収の吸収端の光子エネルギーはバンドギャップ $E_{\mathrm{g}}(x)$ に等しいとする（励起子による吸収や温度の影響は考えない）。また、光子のエネルギー $E$ と真空中の波長 $\lambda$ の関係には $hc=1240\mathrm{eV}\mathrm{nm}$ を用いる。

吸収端の波長が $775\mathrm{nm}$ となるような組成比 $x$ を、正確な値（分数）で求めよ。

ウスタイト（酸化鉄(II)）は組成が化学量論からずれた不定比化合物で、組成式を ${\mathrm{Fe}}_{1-x}\mathrm{O}$（$0<x<1$）と表す。この結晶は塩化ナトリウム型構造をとる。単位格子は立方体で、次のように考える。

• ${\mathrm{O}}^{2-}$ は面心立方格子の位置（立方体の 8 個の頂点と 6 個の面の中心）をすべて占めている。
• 鉄イオンが入りうる位置は、立方体の 12 本の辺の中点と立方体の中心である。これらの位置の一部は空孔になっており、空孔でない位置には鉄イオンが 1 個ずつある。格子間の位置には鉄イオンはない。
• 鉄イオンは $\mathrm{F}{\mathrm{e}}^{2+}$ と $\mathrm{F}{\mathrm{e}}^{3+}$ のどちらかで、結晶全体は電気的に中性である。

ある試料について、X 線回折から求めた格子定数は $a=0.4300\mathrm{nm}$、測定した密度は $\rho =5.750\mathrm{g}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ であった。原子量は $\mathrm{Fe}=55.85$、$\mathrm{O}=16.00$、アボガドロ定数は $N_{\mathrm{A}}=6.022\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ とする。

この試料に含まれる鉄イオン全体の数に対する $\mathrm{F}{\mathrm{e}}^{3+}$ の数の割合を、有効数字 3 桁で求めよ。

イオン結晶中の陽イオンと陰イオンを、変形しない剛体球とみなす。陽イオンの半径を $r_{+}=0.095\mathrm{nm}$、陰イオンの半径を $r_{-}=0.181\mathrm{nm}$ とする。

1 個の陽イオンのまわりに $n$ 個の陰イオンを、陰イオンの中心が次の図形の頂点にくるように配置する。陽イオンの中心は、その図形の中心（すべての頂点から等距離の点）にあるものとする。

• $n=3$: 正三角形
• $n=4$: 正四面体
• $n=6$: 正八面体
• $n=8$: 立方体

このとき、「陽イオンが $n$ 個の陰イオンすべてに接し、かつ陰イオンどうしが重ならない（接するか離れている）」という配置ができる $n$ を、$3,4,6,8$ の中からすべて求めよ。

正方晶の結晶があり、格子定数は $a=b=0.400\mathrm{nm}$、$c=0.600\mathrm{nm}$（3 本の軸は互いに直交）である。この結晶の $(112)$ 面による X 線の 1 次の回折を、波長 $\lambda =0.154\mathrm{nm}$ の X 線で観測する。ブラッグの条件 $2d\sin \theta =n\lambda$（$d$ は面間隔、$\theta$ は X 線と格子面のなす角、$n$ は回折の次数）が成り立つとして、$n=1$ のときの $\sin \theta$ の値を有効数字 3 桁で求めよ。

混晶半導体 ${\mathrm{In}}_x{\mathrm{Ga}}_{1-x}\mathrm{N}$（$0\le x\le 1$）は、組成 $x$ を変えることでバンドギャップ $E_{\mathrm{g}}$ を調節できる。$E_{\mathrm{g}}$ は次の式で表されるとする。
$$E_{\mathrm{g}}(x)=(1-x)E_{\mathrm{g}}(\mathrm{GaN})+x{E}_{\mathrm{g}}(\mathrm{InN})-bx(1-x)$$
ここで $E_{\mathrm{g}}(\mathrm{GaN})=3.40\mathrm{eV}$、$E_{\mathrm{g}}(\mathrm{InN})=0.70\mathrm{eV}$、ボーイングパラメーター $b=1.40\mathrm{eV}$ とする。

この混晶の光吸収端（バンド間吸収が始まる最も長い波長）を $450\mathrm{nm}$ にしたい。吸収端の光子エネルギーがバンドギャップ $E_{\mathrm{g}}$ に等しいとみなして、必要な組成 $x$ を有効数字 3 桁で求めよ。ただし、プランク定数 $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$、真空中の光速 $c=2.998\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$、電気素量 $e=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とし、波長は真空中の値とする。

イオン結晶中のイオンを、変形しない剛体球とみなす。半径 $r_{+}=0.074\mathrm{nm}$ の陽イオン $\mathrm{M}$ が、4 個の陰イオン ${\mathrm{X}}_1$, ${\mathrm{X}}_2$, ${\mathrm{X}}_3$, ${\mathrm{X}}_4$（半径はどれも $r_{-}=0.184\mathrm{nm}$）に囲まれた 4 配位をとっている。4 個の陰イオンの中心は正四面体の頂点にあり、$\mathrm{M}$ の中心はその正四面体の中心にある。

剛体球どうしは重ならず、$\mathrm{M}$ と陰イオンの中心間距離は、この条件のもとでできるだけ小さくなるように配置されるとする。このとき、となり合う 2 個の陰イオン（たとえば ${\mathrm{X}}_1$ と ${\mathrm{X}}_2$）の表面どうしの最短距離（中心間距離から 2 つの半径を引いた値）は何 nm か。有効数字 3 桁で求めよ。

ある金属の結晶は面心立方格子をとり、立方体の単位格子（1 辺の長さ $a=0.360\mathrm{nm}$）の 8 個の頂点と 6 個の面の中心に、同じ種類の原子が 1 個ずつ位置している。この結晶の粉末に、波長 $\lambda =0.154\mathrm{nm}$ の単色 X 線を当てて粉末 X 線回折を測定する。

立方晶の $(hkl)$ 面の面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$ で表され、回折はブラッグの条件 $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$ を満たす角度 $\theta$ で起こる（高次の回折は、指数 $(hkl)$ を整数倍した面の 1 次の回折として扱う）。ただし、構造因子が $0$ になる $(hkl)$ では回折は観測されない。

$0^{\circ }<2\theta <180^{\circ }$ の範囲に現れる回折ピークは何本か。ただし、$\theta$ の値が等しい回折は 1 本のピークとして数える。

1 価の陽イオン ${\mathrm{M}}^{+}$ と 1 価の陰イオン ${\mathrm{X}}^{-}$ が、一直線上に交互に等間隔で無限に並んだ 1 次元のイオン結晶（無限イオン鎖）を考える。となり合うイオンの中心間距離は $r_0=0.250\mathrm{nm}$ である。

この結晶の格子エネルギー $U$ を、${\mathrm{M}}^{+}$ $1\mathrm{mol}$ と ${\mathrm{X}}^{-}$ $1\mathrm{mol}$ からなる結晶を、互いに無限に離れた気体状のイオンに分けるのに必要なエネルギー（正の値）と定義し、ボルン・ランデの式
$$U=\frac{N_{\mathrm{A}}M{z}_{+}{z}_{-}{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_0}\left(1-\frac{1}{n}\right)$$
で表されるものとする。ここで $M$ はこの 1 次元結晶のマーデルング定数、$z_{+}=z_{-}=1$ はイオンの電荷数（絶対値）、$n$ はボルン指数である。

1 つのイオンが、ほかのすべてのイオンから受けるクーロン相互作用だけを考えて $M$ を求め、$U$ を $\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。ただし、$n=8$、アボガドロ定数 $N_{\mathrm{A}}=6.022\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$、電気素量 $e=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0=8.854\times 10^{-12}{\mathrm{C}}^2{\mathrm{J}}^{-1}{\mathrm{m}}^{-1}$、$\log 2=0.6931$ とする。

ある単体の結晶は立方晶系に属し、格子定数を $a$ とする。単位格子（1 辺 $a$ の立方体）の 1 つの頂点を原点とし、3 本の辺に沿って座標軸をとり、座標を $a$ を単位とする分率座標で表す。単位格子中の原子の位置は次の 8 か所で、すべて同じ種類の原子である。
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right),$$
$$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right),\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right),\left(\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right),\left(\frac{3}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right)$$
この結晶の粉末に単一波長の X 線を当てて粉末 X 線回折を測定したところ、回折角（ブラッグ角）$\theta$ が最も小さい回折線は $\theta =14.2^{\circ }$ に現れた。

結晶構造因子が $0$ でない反射はすべて観測され、$0$ となる反射は観測されないものとする。また、面間隔が等しく同じ回折角に重なる反射（異なる指数 $hkl$ の組でも $h^2+k^2+l^2$ が等しいもの）は 1 本の回折線と数える。$0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$ の範囲に観測される回折線は全部で何本か。整数で答えよ。

1 価の陽イオン ${\mathrm{M}}^{+}$ と 1 価の陰イオン ${\mathrm{X}}^{-}$ が、1 本の直線上に間隔 $r$ で交互に並んでいる。このイオン鎖は両側に無限に続いているとし、端の影響は考えない。

イオン対（${\mathrm{M}}^{+}$ 1 個と ${\mathrm{X}}^{-}$ 1 個）あたりのエネルギーを次の式で表す。
$$U(r)=-\frac{A{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}+\frac{B}{r^n}$$
ここで、第 1 項は鎖の中のすべてのイオンの間のクーロン相互作用の和、第 2 項は反発のエネルギーである。$A$ はこのイオン鎖のマーデルング定数、$B$ は正の定数で、ボルン指数を $n=8$ とする。

平衡のイオン間距離を $r_0=0.250\mathrm{nm}$ とするとき、このイオン鎖をばらばらの気体イオンにするのに必要なエネルギー（格子エネルギー、正の値）は 1 mol のイオン対あたり何 $\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、電気素量 $e=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0=8.854\times 10^{-12}\mathrm{F}{\mathrm{m}}^{-1}$、アボガドロ定数 $N_{\mathrm{A}}=6.022\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$、$\log 2=0.693$ とする（$\log$ は自然対数）。

ある仮想的な金属の結晶は六方格子をもつ。単位格子は基本ベクトル ${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,\vec{c}$ で張られる平行六面体で、次の条件を満たす。

• $|{\vec{a}}_1|=|{\vec{a}}_2|=a$、${\vec{a}}_1$ と ${\vec{a}}_2$ のなす角は $120^{\circ }$
• $\vec{c}$ は ${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2$ の両方に垂直で、$|\vec{c}|=c=\sqrt{2}a$

単位格子の頂点 O を原点とし、位置を $x{\vec{a}}_1+y{\vec{a}}_2+z\vec{c}$ の係数 $(x,y,z)$（分率座標）で表す。原子は $(0,0,0)$ と単位格子の内部の点 $\mathrm{P}\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{2}\right)$ にあり、さらにそれらを ${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,\vec{c}$ の整数倍の和だけ平行移動したすべての位置にも原子がある。ほかの位置には原子はない（理想的な $c/a$ をもつ六方最密構造とは $c/a$ の値が異なる）。

原子を同じ半径の剛体球とみなす。球の半径は最近接原子間距離の $\frac{1}{2}$ とする。つまり、最も近い原子どうしがちょうど接する。このとき、この結晶の充填率（単位格子の体積のうち、原子の球が占める体積の割合）を、根号と $\pi$ を用いた正確な値で求めよ。

元素 X の単体の結晶は、格子定数 $a=0.560\mathrm{nm}$ の立方晶で、ダイヤモンド型構造をとる。単位格子の 1 つの頂点を原点とし、単位格子の 3 本の辺に沿って座標軸をとる。座標を格子定数 $a$ を単位とする分率座標で表す。単位格子の中の X 原子（8 個）の位置は、次の 4 点
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$$
と、これら 4 点のそれぞれに $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$ を加えた 4 点である。

この結晶の粉末に、波長 $\lambda =0.154\mathrm{nm}$ の単色 X 線を当てて粉末 X 線回折を測定する。回折は、ミラー指数 $(hkl)$ の格子面によるブラッグ反射 $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$（$0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$）として起こるものとする。ここで $h,k,l$ は整数で $(h,k,l)\ne (0,0,0)$ とし（$h,k,l$ のうちいくつかが 0 であってもよい）、高次の回折は指数を整数倍した $(hkl)$ として扱う。面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$ である。

すべての原子は同じ原子散乱因子 $f(\ne 0)$ をもち、構造因子 $F_{hkl}=\sum _{j}f{e}^{2\pi i(h{x}_j+k{y}_j+l{z}_j)}$ が $0$ になる反射だけが観測されない（それ以外の反射はすべて観測できる）とする。また、$h^2+k^2+l^2$ の値が等しい反射は同じ回折角に重なるので 1 本の回折線と数える。

この測定で観測される回折線は何本か。