固体化学と結晶学の問題

2 種類の半導体 $\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ からなる混晶半導体 ${\mathrm{P}}_{1-x}{\mathrm{Q}}_x$（$x$ は $0\le x\le 1$ を満たす実数で、$\mathrm{Q}$ の組成比を表す）を考える。この混晶のバンドギャップ $E_{\mathrm{g}}(x)$ は、ボーイングパラメーター $b$ を用いて
$$E_{\mathrm{g}}(x)=(1-x)E_{\mathrm{P}}+x{E}_{\mathrm{Q}}-bx(1-x)$$
で表されるとする。ここで $E_{\mathrm{P}}=1.40\mathrm{eV}$、$E_{\mathrm{Q}}=2.40\mathrm{eV}$、$b=0.60\mathrm{eV}$ である。

この混晶は $0\le x\le 1$ の全範囲で直接遷移型であり、光吸収の吸収端の光子エネルギーはバンドギャップ $E_{\mathrm{g}}(x)$ に等しいとする（励起子による吸収や温度の影響は考えない）。また、光子のエネルギー $E$ と真空中の波長 $\lambda$ の関係には $hc=1240\mathrm{eV}\mathrm{nm}$ を用いる。

吸収端の波長が $775\mathrm{nm}$ となるような組成比 $x$ を、正確な値（分数）で求めよ。

ある半導体のバンドギャップは $E_g=3.10\mathrm{eV}$ である。この半導体の光吸収の吸収端の波長 $\lambda$ は何 nm か。吸収端では光子 1 個のエネルギーがバンドギャップに等しいとし、$hc=1240\mathrm{eV}\mathrm{nm}$ を用いて求めよ（与えた数値は正確な値とみなす）。

格子定数 $a=0.400\mathrm{nm}$ の単純立方格子を考える。単位格子の 1 つの頂点を原点 O とし、単位格子の 3 本の辺に沿って $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸をとる。ある格子面が $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸とそれぞれ点 $\mathrm{P}\left(\frac{a}{2},0,0\right)$、$\mathrm{Q}(0,a,0)$、$\mathrm{R}(0,0,a)$ で交わっている。この格子面のミラー指数 $(hkl)$ で表される面の族について、隣り合う面の間隔 $d_{hkl}$ を $\mathrm{nm}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。ただし、立方晶の面間隔は
$$d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$$
で与えられるものとする。

1 価の陽イオン ${\mathrm{M}}^{+}$ と 1 価の陰イオン ${\mathrm{X}}^{-}$ が、一直線上に交互に等間隔で無限に並んだ 1 次元のイオン結晶（無限イオン鎖）を考える。となり合うイオンの中心間距離は $r_0=0.250\mathrm{nm}$ である。

この結晶の格子エネルギー $U$ を、${\mathrm{M}}^{+}$ $1\mathrm{mol}$ と ${\mathrm{X}}^{-}$ $1\mathrm{mol}$ からなる結晶を、互いに無限に離れた気体状のイオンに分けるのに必要なエネルギー（正の値）と定義し、ボルン・ランデの式
$$U=\frac{N_{\mathrm{A}}M{z}_{+}{z}_{-}{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_0}\left(1-\frac{1}{n}\right)$$
で表されるものとする。ここで $M$ はこの 1 次元結晶のマーデルング定数、$z_{+}=z_{-}=1$ はイオンの電荷数（絶対値）、$n$ はボルン指数である。

1 つのイオンが、ほかのすべてのイオンから受けるクーロン相互作用だけを考えて $M$ を求め、$U$ を $\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。ただし、$n=8$、アボガドロ定数 $N_{\mathrm{A}}=6.022\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$、電気素量 $e=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0=8.854\times 10^{-12}{\mathrm{C}}^2{\mathrm{J}}^{-1}{\mathrm{m}}^{-1}$、$\log 2=0.6931$ とする。

正方晶の結晶があり、格子定数は $a=b=0.400\mathrm{nm}$、$c=0.600\mathrm{nm}$（3 本の軸は互いに直交）である。この結晶の $(112)$ 面による X 線の 1 次の回折を、波長 $\lambda =0.154\mathrm{nm}$ の X 線で観測する。ブラッグの条件 $2d\sin \theta =n\lambda$（$d$ は面間隔、$\theta$ は X 線と格子面のなす角、$n$ は回折の次数）が成り立つとして、$n=1$ のときの $\sin \theta$ の値を有効数字 3 桁で求めよ。