ある半導体のバンドギャップは である。この半導体の光吸収の吸収端の波長 は何 nm か。吸収端では光子 1 個のエネルギーがバンドギャップに等しいとし、 を用いて求めよ（与えた数値は正確な値とみなす）。
半導体のバンドギャップと吸収端波長
吸収端の波長とバンドギャップの関係 （）から や を求められ、混晶のバンドギャップの組成依存 から 2 次方程式を解いて目的の吸収端を与える組成を求められる
前提
- 光子のエネルギーと運動量 （高校物理 原子）
- 2次方程式の解の公式と判別式 （数学I 2次関数）
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説明
半導体は、バンドギャップ （電子が詰まったエネルギー帯の上端と、空のエネルギー帯の下端の差）より大きなエネルギーをもつ光子を吸収し、それより小さいエネルギーの光はほとんど吸収しません。そのため、吸収が始まる境目の波長（吸収端波長）は で決まり、 を使えば eV と nm で手早く計算できます。さらに、2 種類の半導体 P, Q を混ぜた混晶 では組成 によって が変わるので、目的の吸収端（発光色や検出波長）を与える組成を 2 次方程式を解いて求められます。
なぜそうしてよいのか
光子 1 個のエネルギーは です。光子を吸収して電子が上のエネルギー帯に移るには が必要なので、吸収できる最も長い波長は のとき、つまり です。、、 から となるので、 を eV で表せば です。 が大きいほど吸収端は短波長側に移ります。
混晶 のバンドギャップは、まず端の値 （）と （）を直線で結んだ が目安になります。しかし実際には、原子の大きさや電気陰性度の違いによって直線からずれ、その多くは下にたわみます。このずれを、両端で 0 になる最も簡単な形 （ は湾曲パラメーター）で表したのが です。 を含むので の 2 次式になり、目標の を与える組成は 2 次方程式の解として求まります。
手順
目標の吸収端波長 [nm] から、必要なバンドギャップを [eV] で求める（逆に から を求めるときは ）
混晶の式 に を代入し、展開して の 2 次式に整理する
「2 次式 目標の 」とおき、 の形にする（係数を簡単な整数にそろえると計算しやすい）
解の公式 で解く
を満たす解だけを答えにする
例題
半導体 P のバンドギャップを 、半導体 Q のバンドギャップを とする。混晶 （）のバンドギャップが [eV] で表されるとき、吸収端波長が となる組成 を、根号を用いた正確な値で求めよ。ただし とする。
例題の解答
手順 1: 必要なバンドギャップは 。
手順 2:
手順 3: より 。両辺を 倍して
手順 4:
手順 5: は不適。 は を満たす。よって 。
答え:
よくある誤り
吸収端波長を や としてしまう誤り。エネルギーと波長は反比例なので、正しくは （例: なら ）。
湾曲の項の符号を取り違えて としてしまう誤り。正しくは で、 ならバンドギャップは直線より小さくなる（例題では で直線の値 より 小さい ）。
湾曲の項を無視して直線だけで から としてしまう誤り。正しくは を含めた 2 次方程式 を解いて 。
解の公式で出た 2 つの解をどちらも答えてしまう誤り。組成は の範囲しか意味がないので、正しくは範囲外の を除く。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
2 種類の半導体 と からなる混晶半導体 （ は を満たす実数で、 の組成比を表す）を考える。この混晶のバンドギャップ は、ボーイングパラメーター を用いて
で表されるとする。ここで 、、 である。この混晶は の全範囲で直接遷移型であり、光吸収の吸収端の光子エネルギーはバンドギャップ に等しいとする（励起子による吸収や温度の影響は考えない）。また、光子のエネルギー と真空中の波長 の関係には を用いる。
吸収端の波長が となるような組成比 を、正確な値（分数）で求めよ。
価電子帯伝導帯光子混晶 のバンド構造と光吸収の模式図 混晶半導体 （）は、組成 を変えることでバンドギャップ を調節できる。 は次の式で表されるとする。
ここで 、、ボーイングパラメーター とする。この混晶の光吸収端（バンド間吸収が始まる最も長い波長）を にしたい。吸収端の光子エネルギーがバンドギャップ に等しいとみなして、必要な組成 を有効数字 3 桁で求めよ。ただし、プランク定数 、真空中の光速 、電気素量 とし、波長は真空中の値とする。