固体化学と結晶学の問題

格子定数 $a=0.600\mathrm{nm}$ の立方晶の結晶がある。この結晶の $(221)$ 面の面間隔 $d_{221}$ は何 nm か。立方晶の面間隔の式 $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$ を用いて求め、正確な値（分数または小数）で答えよ（$0.600$ は正確な値とみなす）。

2 種類の半導体 $\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ からなる混晶半導体 ${\mathrm{P}}_{1-x}{\mathrm{Q}}_x$（$x$ は $0\le x\le 1$ を満たす実数で、$\mathrm{Q}$ の組成比を表す）を考える。この混晶のバンドギャップ $E_{\mathrm{g}}(x)$ は、ボーイングパラメーター $b$ を用いて
$$E_{\mathrm{g}}(x)=(1-x)E_{\mathrm{P}}+x{E}_{\mathrm{Q}}-bx(1-x)$$
で表されるとする。ここで $E_{\mathrm{P}}=1.40\mathrm{eV}$、$E_{\mathrm{Q}}=2.40\mathrm{eV}$、$b=0.60\mathrm{eV}$ である。

この混晶は $0\le x\le 1$ の全範囲で直接遷移型であり、光吸収の吸収端の光子エネルギーはバンドギャップ $E_{\mathrm{g}}(x)$ に等しいとする（励起子による吸収や温度の影響は考えない）。また、光子のエネルギー $E$ と真空中の波長 $\lambda$ の関係には $hc=1240\mathrm{eV}\mathrm{nm}$ を用いる。

吸収端の波長が $775\mathrm{nm}$ となるような組成比 $x$ を、正確な値（分数）で求めよ。

格子定数 $a=0.400\mathrm{nm}$ の立方晶の結晶に、波長 $\lambda =0.200\mathrm{nm}$ の X 線を当てる。$(200)$ 面による回折がブラッグの式 $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$ を満たす視射角 $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）を、弧度法で求めよ。ただし立方晶の面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$ であり、与えた数値は正確な値とみなす。

あるイオン結晶の 1 mol あたりのポテンシャルエネルギーを、イオン間距離 $r$（$r>0$）の関数として
$$U(r)=-\frac{A}{r}+\frac{B}{r^9}$$
と表す。ただし $A>0$, $B>0$ は定数で、第 1 項はクーロン引力（マーデルング定数を含む）、第 2 項は反発を表す。結晶は $U(r)$ が極小となるイオン間距離 $r=r_0$ で安定に存在し、そのときのクーロン項の値は $\frac{A}{r_0}=900\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ である。$U(r_0)$ は何 $\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ か（与えた数値は正確な値とみなす）。

混晶半導体 ${\mathrm{In}}_x{\mathrm{Ga}}_{1-x}\mathrm{N}$（$0\le x\le 1$）は、組成 $x$ を変えることでバンドギャップ $E_{\mathrm{g}}$ を調節できる。$E_{\mathrm{g}}$ は次の式で表されるとする。
$$E_{\mathrm{g}}(x)=(1-x)E_{\mathrm{g}}(\mathrm{GaN})+x{E}_{\mathrm{g}}(\mathrm{InN})-bx(1-x)$$
ここで $E_{\mathrm{g}}(\mathrm{GaN})=3.40\mathrm{eV}$、$E_{\mathrm{g}}(\mathrm{InN})=0.70\mathrm{eV}$、ボーイングパラメーター $b=1.40\mathrm{eV}$ とする。

この混晶の光吸収端（バンド間吸収が始まる最も長い波長）を $450\mathrm{nm}$ にしたい。吸収端の光子エネルギーがバンドギャップ $E_{\mathrm{g}}$ に等しいとみなして、必要な組成 $x$ を有効数字 3 桁で求めよ。ただし、プランク定数 $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$、真空中の光速 $c=2.998\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$、電気素量 $e=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とし、波長は真空中の値とする。