固体化学と結晶学の問題

ある半導体のバンドギャップは $E_g=3.10\mathrm{eV}$ である。この半導体の光吸収の吸収端の波長 $\lambda$ は何 nm か。吸収端では光子 1 個のエネルギーがバンドギャップに等しいとし、$hc=1240\mathrm{eV}\mathrm{nm}$ を用いて求めよ（与えた数値は正確な値とみなす）。

格子定数 $a=0.400\mathrm{nm}$ の立方晶の結晶に、波長 $\lambda =0.200\mathrm{nm}$ の X 線を当てる。$(200)$ 面による回折がブラッグの式 $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$ を満たす視射角 $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）を、弧度法で求めよ。ただし立方晶の面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$ であり、与えた数値は正確な値とみなす。

1 価の陽イオン ${\mathrm{M}}^{+}$ と 1 価の陰イオン ${\mathrm{X}}^{-}$ が、1 本の直線上に間隔 $r$ で交互に並んでいる。このイオン鎖は両側に無限に続いているとし、端の影響は考えない。

イオン対（${\mathrm{M}}^{+}$ 1 個と ${\mathrm{X}}^{-}$ 1 個）あたりのエネルギーを次の式で表す。
$$U(r)=-\frac{A{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}+\frac{B}{r^n}$$
ここで、第 1 項は鎖の中のすべてのイオンの間のクーロン相互作用の和、第 2 項は反発のエネルギーである。$A$ はこのイオン鎖のマーデルング定数、$B$ は正の定数で、ボルン指数を $n=8$ とする。

平衡のイオン間距離を $r_0=0.250\mathrm{nm}$ とするとき、このイオン鎖をばらばらの気体イオンにするのに必要なエネルギー（格子エネルギー、正の値）は 1 mol のイオン対あたり何 $\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、電気素量 $e=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0=8.854\times 10^{-12}\mathrm{F}{\mathrm{m}}^{-1}$、アボガドロ定数 $N_{\mathrm{A}}=6.022\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$、$\log 2=0.693$ とする（$\log$ は自然対数）。

電気量 $+e$ の陽イオン 3 個と $-e$ の陰イオン 4 個の計 7 個が、一直線上に間隔 $r_0$ で、隣り合うイオンの符号が交互になるように並んでいる。中央（端から 4 番目）のイオンは陽イオンで、両端のイオンは陰イオンである。この 7 個だけからなる配列で、中央の陽イオンがほかの 6 個のイオンから受けるクーロンエネルギーの和を
$$U=-\frac{M{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_0}$$
の形に表したときの定数 $M$ を、既約分数で求めよ。ただし ${\epsilon }_0$ は真空の誘電率であり、電荷 $q_1$, $q_2$ の 2 つの点電荷が距離 $r$ だけ離れているときのクーロンエネルギーは $\frac{q_1{q}_2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$ とする。

ある単体の結晶は単純六方格子をとり、単位格子の基本ベクトルは直交座標で
$${\vec{a}}_1=(a,0,0),{\vec{a}}_2=\left(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}a,0\right),{\vec{a}}_3=(0,0,a)$$
である（$a>0$。$c$ 軸の長さも $a$ に等しい）。原子は単位格子の頂点（分率座標 $(0,0,0)$）にだけあり、単位格子 1 つあたり 1 個の原子を含む。原子を半径 $r$ の球とみなし、最近接の原子どうし（距離 $a$）が接しているとき、この結晶の充填率を正確な値で求めよ。