固体化学と結晶学の問題

六方晶の単位格子の基本ベクトルが、原点 O を始点として、直交座標で
$${\vec{a}}_1=(a,0,0),{\vec{a}}_2=\left(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}a,0\right),{\vec{a}}_3=(0,0,c)$$
で与えられている。ただし $a>0$, $c>0$ である。この単位格子の体積 $V=|{\vec{a}}_1\cdot ({\vec{a}}_2\times {\vec{a}}_3)|$ を $a$, $c$ を用いて表せ。

半径 $r_{+}$ の陽イオンが、半径 $r_{-}$ の 6 個の陰イオンがつくる正八面体の中心にあり、6 個の陰イオンすべてと接している（配位数 6）。陽イオンを小さくしていくと、やがて陰イオンどうしも互いに接するようになる。この限界の状態では、正八面体の中心を通る 1 つの平面上に、4 個の陰イオンが正方形の頂点の位置に並び、正方形の辺の両端の陰イオンどうしが接し、正方形の中心にある陽イオンが 4 個の陰イオンすべてと接している。イオンはすべて球とみなす。この限界の状態での半径比 $\frac{r_{+}}{r_{-}}$ を求めよ。

あるイオン結晶の 1 mol あたりのポテンシャルエネルギーを、イオン間距離 $r$（$r>0$）の関数として
$$U(r)=-\frac{A}{r}+\frac{B}{r^9}$$
と表す。ただし $A>0$, $B>0$ は定数で、第 1 項はクーロン引力（マーデルング定数を含む）、第 2 項は反発を表す。結晶は $U(r)$ が極小となるイオン間距離 $r=r_0$ で安定に存在し、そのときのクーロン項の値は $\frac{A}{r_0}=900\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ である。$U(r_0)$ は何 $\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ か（与えた数値は正確な値とみなす）。

格子定数 $a=0.400\mathrm{nm}$ の単純立方格子を考える。単位格子の 1 つの頂点を原点 O とし、単位格子の 3 本の辺に沿って $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸をとる。ある格子面が $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸とそれぞれ点 $\mathrm{P}\left(\frac{a}{2},0,0\right)$、$\mathrm{Q}(0,a,0)$、$\mathrm{R}(0,0,a)$ で交わっている。この格子面のミラー指数 $(hkl)$ で表される面の族について、隣り合う面の間隔 $d_{hkl}$ を $\mathrm{nm}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。ただし、立方晶の面間隔は
$$d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$$
で与えられるものとする。

ある金属 X の結晶は体心立方格子をとり、単位格子（立方体）の 8 個の頂点と立方体の中心に X 原子が 1 個ずつ位置している。単位格子の 1 辺の長さは $a=0.330\mathrm{nm}$ である。X のモル質量を $92.9\mathrm{g}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$、アボガドロ定数を $N_A=6.02\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ として、この結晶の密度を $\mathrm{g}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。ただし、結晶には欠陥がないものとする。