固体化学と結晶学の問題

ある単体の結晶は単純六方格子をとり、単位格子の基本ベクトルは直交座標で
$${\vec{a}}_1=(a,0,0),{\vec{a}}_2=\left(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}a,0\right),{\vec{a}}_3=(0,0,a)$$
である（$a>0$。$c$ 軸の長さも $a$ に等しい）。原子は単位格子の頂点（分率座標 $(0,0,0)$）にだけあり、単位格子 1 つあたり 1 個の原子を含む。原子を半径 $r$ の球とみなし、最近接の原子どうし（距離 $a$）が接しているとき、この結晶の充填率を正確な値で求めよ。

格子定数 $a=0.400\mathrm{nm}$ の単純立方格子を考える。単位格子の 1 つの頂点を原点 O とし、単位格子の 3 本の辺に沿って $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸をとる。ある格子面が $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸とそれぞれ点 $\mathrm{P}\left(\frac{a}{2},0,0\right)$、$\mathrm{Q}(0,a,0)$、$\mathrm{R}(0,0,a)$ で交わっている。この格子面のミラー指数 $(hkl)$ で表される面の族について、隣り合う面の間隔 $d_{hkl}$ を $\mathrm{nm}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。ただし、立方晶の面間隔は
$$d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$$
で与えられるものとする。

立方晶の化合物 AB の単位格子には、原子 A が分率座標 $(0,0,0)$ に 1 個、原子 B が分率座標 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ に 1 個ある（塩化セシウム型構造）。原子 A, B の原子散乱因子をそれぞれ $f_{\mathrm{A}}$, $f_{\mathrm{B}}$（実数）とする。構造因子
$$F_{hkl}=\sum _j{f}_j{e}^{2\pi i(h{x}_j+k{y}_j+l{z}_j)}$$
を用いて、$(210)$ 反射の構造因子 $F_{210}$ を $f_{\mathrm{A}}$, $f_{\mathrm{B}}$ で表せ。ただし $i$ は虚数単位である。

あるイオン結晶の 1 mol あたりのポテンシャルエネルギーを、イオン間距離 $r$（$r>0$）の関数として
$$U(r)=-\frac{A}{r}+\frac{B}{r^9}$$
と表す。ただし $A>0$, $B>0$ は定数で、第 1 項はクーロン引力（マーデルング定数を含む）、第 2 項は反発を表す。結晶は $U(r)$ が極小となるイオン間距離 $r=r_0$ で安定に存在し、そのときのクーロン項の値は $\frac{A}{r_0}=900\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ である。$U(r_0)$ は何 $\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ か（与えた数値は正確な値とみなす）。

電気量 $+e$ の陽イオン 3 個と $-e$ の陰イオン 4 個の計 7 個が、一直線上に間隔 $r_0$ で、隣り合うイオンの符号が交互になるように並んでいる。中央（端から 4 番目）のイオンは陽イオンで、両端のイオンは陰イオンである。この 7 個だけからなる配列で、中央の陽イオンがほかの 6 個のイオンから受けるクーロンエネルギーの和を
$$U=-\frac{M{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_0}$$
の形に表したときの定数 $M$ を、既約分数で求めよ。ただし ${\epsilon }_0$ は真空の誘電率であり、電荷 $q_1$, $q_2$ の 2 つの点電荷が距離 $r$ だけ離れているときのクーロンエネルギーは $\frac{q_1{q}_2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$ とする。