固体化学と結晶学の問題

ある金属 X の結晶は体心立方格子をとり、単位格子（立方体）の 8 個の頂点と立方体の中心に X 原子が 1 個ずつ位置している。単位格子の 1 辺の長さは $a=0.330\mathrm{nm}$ である。X のモル質量を $92.9\mathrm{g}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$、アボガドロ定数を $N_A=6.02\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ として、この結晶の密度を $\mathrm{g}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。ただし、結晶には欠陥がないものとする。

ウスタイト（酸化鉄(II)）は組成が化学量論からずれた不定比化合物で、組成式を ${\mathrm{Fe}}_{1-x}\mathrm{O}$（$0<x<1$）と表す。この結晶は塩化ナトリウム型構造をとる。単位格子は立方体で、次のように考える。

• ${\mathrm{O}}^{2-}$ は面心立方格子の位置（立方体の 8 個の頂点と 6 個の面の中心）をすべて占めている。
• 鉄イオンが入りうる位置は、立方体の 12 本の辺の中点と立方体の中心である。これらの位置の一部は空孔になっており、空孔でない位置には鉄イオンが 1 個ずつある。格子間の位置には鉄イオンはない。
• 鉄イオンは $\mathrm{F}{\mathrm{e}}^{2+}$ と $\mathrm{F}{\mathrm{e}}^{3+}$ のどちらかで、結晶全体は電気的に中性である。

ある試料について、X 線回折から求めた格子定数は $a=0.4300\mathrm{nm}$、測定した密度は $\rho =5.750\mathrm{g}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ であった。原子量は $\mathrm{Fe}=55.85$、$\mathrm{O}=16.00$、アボガドロ定数は $N_{\mathrm{A}}=6.022\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ とする。

この試料に含まれる鉄イオン全体の数に対する $\mathrm{F}{\mathrm{e}}^{3+}$ の数の割合を、有効数字 3 桁で求めよ。

正方晶の結晶があり、格子定数は $a=b=0.400\mathrm{nm}$、$c=0.600\mathrm{nm}$（3 本の軸は互いに直交）である。この結晶の $(112)$ 面による X 線の 1 次の回折を、波長 $\lambda =0.154\mathrm{nm}$ の X 線で観測する。ブラッグの条件 $2d\sin \theta =n\lambda$（$d$ は面間隔、$\theta$ は X 線と格子面のなす角、$n$ は回折の次数）が成り立つとして、$n=1$ のときの $\sin \theta$ の値を有効数字 3 桁で求めよ。

六方晶の単位格子の基本ベクトルが、原点 O を始点として、直交座標で
$${\vec{a}}_1=(a,0,0),{\vec{a}}_2=\left(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}a,0\right),{\vec{a}}_3=(0,0,c)$$
で与えられている。ただし $a>0$, $c>0$ である。この単位格子の体積 $V=|{\vec{a}}_1\cdot ({\vec{a}}_2\times {\vec{a}}_3)|$ を $a$, $c$ を用いて表せ。

元素 X の単体の結晶は、格子定数 $a=0.560\mathrm{nm}$ の立方晶で、ダイヤモンド型構造をとる。単位格子の 1 つの頂点を原点とし、単位格子の 3 本の辺に沿って座標軸をとる。座標を格子定数 $a$ を単位とする分率座標で表す。単位格子の中の X 原子（8 個）の位置は、次の 4 点
$$(0,0,0),\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$$
と、これら 4 点のそれぞれに $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$ を加えた 4 点である。

この結晶の粉末に、波長 $\lambda =0.154\mathrm{nm}$ の単色 X 線を当てて粉末 X 線回折を測定する。回折は、ミラー指数 $(hkl)$ の格子面によるブラッグ反射 $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$（$0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$）として起こるものとする。ここで $h,k,l$ は整数で $(h,k,l)\ne (0,0,0)$ とし（$h,k,l$ のうちいくつかが 0 であってもよい）、高次の回折は指数を整数倍した $(hkl)$ として扱う。面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$ である。

すべての原子は同じ原子散乱因子 $f(\ne 0)$ をもち、構造因子 $F_{hkl}=\sum _{j}f{e}^{2\pi i(h{x}_j+k{y}_j+l{z}_j)}$ が $0$ になる反射だけが観測されない（それ以外の反射はすべて観測できる）とする。また、$h^2+k^2+l^2$ の値が等しい反射は同じ回折角に重なるので 1 本の回折線と数える。

この測定で観測される回折線は何本か。