ミラー指数と面間隔

格子面と結晶軸の切片からミラー指数 $(hk l)$ を求め、立方晶の面間隔 $d_{hk l} = \frac{a}{h ^{2} + k ^{2} + l ^{2}}$ （正方晶・直方晶の式も含む）を求められる

前提

空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）

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算数中学高校大学大学院

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空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）

説明

結晶の中には、原子が並んだ平らな面（格子面）が同じ向きに等間隔でたくさん重なっています。その向きを 3 つの整数で表したものがミラー指数 $(hk l)$ で、面が結晶軸を切る位置（切片）から求めます。同じ向きの隣り合う面どうしの距離が面間隔 $d_{hk l}$ で、立方晶では $d_{hk l} = \frac{a}{h ^{2} + k ^{2} + l ^{2}}$ です。X 線回折で結晶構造を調べるときなどに、面の向きと面間隔を結びつけるのに使います。

なぜそうしてよいのか

軸どうしが直交する結晶（立方晶・正方晶・直方晶）で、格子定数を $a, b, c$ とし、 $x, y, z$ 軸をそれぞれの結晶軸にとります。ミラー指数は「切片を格子定数で割った値の逆数」を最小の整数の比にしたものです。逆数をとるのは、ある軸に平行な面（切片が $\infty$ ）を指数 $0$ で表せるようにするためです。ミラー指数が $(hk l)$ の面群のうち原点に最も近い面は、切片が $\frac{a}{h}, \frac{b}{k}, \frac{c}{l}$ の面で、その方程式は $\frac{h}{a} x + \frac{k}{b} y + \frac{l}{c} z = 1$ です（指数が $0$ の項は、その軸に平行なので書かない）。同じ向きの面は原点を通る面 $\frac{h}{a} x + \frac{k}{b} y + \frac{l}{c} z = 0$ を含めて等間隔に並ぶので、面間隔はこの面と原点の距離に等しくなります。

この平面の法線ベクトルは $n = (\frac{h}{a}, \frac{k}{b}, \frac{l}{c})$ です。原点からこの平面に下ろした垂線の足を $t n$ とおくと、平面上にあるので $n \cdot t n = 1$ 、つまり $t = \frac{1}{∣ n ∣ ^{2}}$ です。距離は $∣ t n ∣ = \frac{1}{∣ n ∣}$ なので $\frac{1}{d _{hk l}^{2}} = \frac{h ^{2}}{a ^{2}} + \frac{k ^{2}}{b ^{2}} + \frac{l ^{2}}{c ^{2}}$ が得られます（直方晶）。正方晶（ $a = b$ ）では $\frac{1}{d ^{2}} = \frac{h ^{2} + k ^{2}}{a ^{2}} + \frac{l ^{2}}{c ^{2}}$ 、立方晶（ $a = b = c$ ）では $d_{hk l} = \frac{a}{h ^{2} + k ^{2} + l ^{2}}$ になります。

手順

面が $x, y, z$ 軸を切る切片を、格子定数を単位にして書く（例: $2 a, 3 b, \infty$ なら $2, 3, \infty$ ）。軸に平行なら $\infty$ 、原点を通る面なら平行な別の面に移して考える
それぞれの逆数をとる（ $\infty$ の逆数は $0$ ）
分母を払って、共通因数のない最小の整数の比にし、 $(hk l)$ と書く。負の数は数字の上に線を引いて $1 ˉ$ のように書く
結晶系に合った式に $h, k, l$ と格子定数を代入する: 直方晶 $\frac{1}{d ^{2}} = \frac{h ^{2}}{a ^{2}} + \frac{k ^{2}}{b ^{2}} + \frac{l ^{2}}{c ^{2}}$ 、正方晶 $\frac{1}{d ^{2}} = \frac{h ^{2} + k ^{2}}{a ^{2}} + \frac{l ^{2}}{c ^{2}}$ 、立方晶 $d = \frac{a}{h ^{2} + k ^{2} + l ^{2}}$
平方根をとって $d_{hk l}$ を求める

例題

格子定数 $a$ の立方晶で、ある格子面が $x$ 軸を $2 a$ 、 $y$ 軸を $3 a$ で切り、 $z$ 軸に平行である。この格子面のミラー指数を $(hk l)$ とするとき、 $h, k, l$ と、その面群の面間隔 $d_{hk l}$ （ $a$ を用いた式）を、この順に組 $(h, k, l, d_{hk l})$ で求めよ。

例題の解答

手順 1: 切片を格子定数単位で書くと $2, 3, \infty$ 。

手順 2: 逆数は $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 0$ 。

手順 3: 6 を掛けて $3, 2, 0$ 。共通因数はないのでミラー指数は $(320)$ 、つまり $h = 3, k = 2, l = 0$ 。

手順 4: 立方晶の式に代入して $d_{320} = \frac{a}{3 ^{2} + 2 ^{2} + 0 ^{2}} = \frac{a}{13}$

手順 5: 分母を有理化すると $d_{320} = \frac{13}{13} a$ 。

（問題の面そのものは原点から $\frac{6 a}{13}$ の距離にあり、これは面間隔のちょうど 6 倍である。）

よって $(h, k, l, d_{hk l}) = (3, 2, 0, \frac{13}{13} a)$ 。

答え: $(3, 2, 0, \frac{13}{13} a)$

よくある誤り

切片の逆数をとらずに、切片の比 $2 : 3 : \infty$ をそのまま指数にしてしまう誤り。正しくは逆数 $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : 0$ を整数比にして $(320)$ 。
軸に平行な面の指数を $\infty$ や $1$ としてしまう誤り。切片が $\infty$ なら逆数は $0$ なので、正しくは指数 $0$ （例: $x$ 軸だけを $a$ で切り $y, z$ 軸に平行な面は $(100)$ ）。
問題で与えられた面と原点との距離 $\frac{6 a}{13}$ を面間隔としてしまう誤り。面間隔は隣り合う同じ向きの面の距離で、正しくは $d_{320} = \frac{a}{13}$ 。
正方晶・直方晶でも立方晶の式 $\frac{a}{h ^{2} + k ^{2} + l ^{2}}$ を使ってしまう誤り。軸ごとに格子定数が違うときは、正しくは $\frac{1}{d ^{2}} = \frac{h ^{2}}{a ^{2}} + \frac{k ^{2}}{b ^{2}} + \frac{l ^{2}}{c ^{2}}$ （例: 正方晶の $(001)$ なら $d = c$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
格子定数 $a = 0.600 nm$ の立方晶の結晶がある。この結晶の $(221)$ 面の面間隔 $d_{221}$ は何 nm か。立方晶の面間隔の式 $d_{hk l} = \frac{a}{h ^{2} + k ^{2} + l ^{2}}$ を用いて求め、正確な値（分数または小数）で答えよ（ $0.600$ は正確な値とみなす）。
O $a$
立方晶の単位格子と $(221)$ 面の 1 つ（色をつけた面）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ブラッグの式と回折角（大学化学固体化学と結晶学）
構造因子と消滅則（大学化学固体化学と結晶学）