固体化学と結晶学の問題

格子定数 $a=0.400\mathrm{nm}$ の立方晶の結晶に、波長 $\lambda =0.200\mathrm{nm}$ の X 線を当てる。$(200)$ 面による回折がブラッグの式 $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$ を満たす視射角 $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）を、弧度法で求めよ。ただし立方晶の面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$ であり、与えた数値は正確な値とみなす。

ある半導体のバンドギャップは $E_g=3.10\mathrm{eV}$ である。この半導体の光吸収の吸収端の波長 $\lambda$ は何 nm か。吸収端では光子 1 個のエネルギーがバンドギャップに等しいとし、$hc=1240\mathrm{eV}\mathrm{nm}$ を用いて求めよ（与えた数値は正確な値とみなす）。

酸化鉄(II) は、鉄イオンの位置の一部が空孔になった不定比化合物 ${\mathrm{Fe}}_{1-x}\mathrm{O}$ として得られることが多い。ある試料の組成が ${\mathrm{Fe}}_{0.90}\mathrm{O}$ であった。この結晶中の鉄イオンは $\mathrm{F}{\mathrm{e}}^{2+}$ と $\mathrm{F}{\mathrm{e}}^{3+}$ だけであり、酸化物イオンはすべて ${\mathrm{O}}^{2-}$ で、結晶全体は電気的に中性であるとする。鉄イオン全体のうち $\mathrm{F}{\mathrm{e}}^{3+}$ が占める物質量の割合を、既約分数で求めよ（$0.90$ は正確な値とみなす）。

正方晶の結晶があり、格子定数は $a=b=0.400\mathrm{nm}$、$c=0.600\mathrm{nm}$（3 本の軸は互いに直交）である。この結晶の $(112)$ 面による X 線の 1 次の回折を、波長 $\lambda =0.154\mathrm{nm}$ の X 線で観測する。ブラッグの条件 $2d\sin \theta =n\lambda$（$d$ は面間隔、$\theta$ は X 線と格子面のなす角、$n$ は回折の次数）が成り立つとして、$n=1$ のときの $\sin \theta$ の値を有効数字 3 桁で求めよ。

あるイオン結晶の 1 mol あたりのポテンシャルエネルギーを、イオン間距離 $r$（$r>0$）の関数として
$$U(r)=-\frac{A}{r}+\frac{B}{r^9}$$
と表す。ただし $A>0$, $B>0$ は定数で、第 1 項はクーロン引力（マーデルング定数を含む）、第 2 項は反発を表す。結晶は $U(r)$ が極小となるイオン間距離 $r=r_0$ で安定に存在し、そのときのクーロン項の値は $\frac{A}{r_0}=900\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ である。$U(r_0)$ は何 $\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ か（与えた数値は正確な値とみなす）。