固体化学と結晶学の問題

ウスタイト（酸化鉄(II)）は組成が化学量論からずれた不定比化合物で、組成式を ${\mathrm{Fe}}_{1-x}\mathrm{O}$（$0<x<1$）と表す。この結晶は塩化ナトリウム型構造をとる。単位格子は立方体で、次のように考える。

• ${\mathrm{O}}^{2-}$ は面心立方格子の位置（立方体の 8 個の頂点と 6 個の面の中心）をすべて占めている。
• 鉄イオンが入りうる位置は、立方体の 12 本の辺の中点と立方体の中心である。これらの位置の一部は空孔になっており、空孔でない位置には鉄イオンが 1 個ずつある。格子間の位置には鉄イオンはない。
• 鉄イオンは $\mathrm{F}{\mathrm{e}}^{2+}$ と $\mathrm{F}{\mathrm{e}}^{3+}$ のどちらかで、結晶全体は電気的に中性である。

ある試料について、X 線回折から求めた格子定数は $a=0.4300\mathrm{nm}$、測定した密度は $\rho =5.750\mathrm{g}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ であった。原子量は $\mathrm{Fe}=55.85$、$\mathrm{O}=16.00$、アボガドロ定数は $N_{\mathrm{A}}=6.022\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ とする。

この試料に含まれる鉄イオン全体の数に対する $\mathrm{F}{\mathrm{e}}^{3+}$ の数の割合を、有効数字 3 桁で求めよ。

格子定数 $a=0.600\mathrm{nm}$ の立方晶の結晶がある。この結晶の $(221)$ 面の面間隔 $d_{221}$ は何 nm か。立方晶の面間隔の式 $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$ を用いて求め、正確な値（分数または小数）で答えよ（$0.600$ は正確な値とみなす）。

ある半導体のバンドギャップは $E_g=3.10\mathrm{eV}$ である。この半導体の光吸収の吸収端の波長 $\lambda$ は何 nm か。吸収端では光子 1 個のエネルギーがバンドギャップに等しいとし、$hc=1240\mathrm{eV}\mathrm{nm}$ を用いて求めよ（与えた数値は正確な値とみなす）。

半径 $r_{+}$ の陽イオンが、半径 $r_{-}$ の 6 個の陰イオンがつくる正八面体の中心にあり、6 個の陰イオンすべてと接している（配位数 6）。陽イオンを小さくしていくと、やがて陰イオンどうしも互いに接するようになる。この限界の状態では、正八面体の中心を通る 1 つの平面上に、4 個の陰イオンが正方形の頂点の位置に並び、正方形の辺の両端の陰イオンどうしが接し、正方形の中心にある陽イオンが 4 個の陰イオンすべてと接している。イオンはすべて球とみなす。この限界の状態での半径比 $\frac{r_{+}}{r_{-}}$ を求めよ。

電気量 $+e$ の陽イオン 3 個と $-e$ の陰イオン 4 個の計 7 個が、一直線上に間隔 $r_0$ で、隣り合うイオンの符号が交互になるように並んでいる。中央（端から 4 番目）のイオンは陽イオンで、両端のイオンは陰イオンである。この 7 個だけからなる配列で、中央の陽イオンがほかの 6 個のイオンから受けるクーロンエネルギーの和を
$$U=-\frac{M{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_0}$$
の形に表したときの定数 $M$ を、既約分数で求めよ。ただし ${\epsilon }_0$ は真空の誘電率であり、電荷 $q_1$, $q_2$ の 2 つの点電荷が距離 $r$ だけ離れているときのクーロンエネルギーは $\frac{q_1{q}_2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$ とする。