固体化学と結晶学の問題

イオン結晶中の陽イオンと陰イオンを、変形しない剛体球とみなす。陽イオンの半径を $r_{+}=0.095\mathrm{nm}$、陰イオンの半径を $r_{-}=0.181\mathrm{nm}$ とする。

1 個の陽イオンのまわりに $n$ 個の陰イオンを、陰イオンの中心が次の図形の頂点にくるように配置する。陽イオンの中心は、その図形の中心（すべての頂点から等距離の点）にあるものとする。

• $n=3$: 正三角形
• $n=4$: 正四面体
• $n=6$: 正八面体
• $n=8$: 立方体

このとき、「陽イオンが $n$ 個の陰イオンすべてに接し、かつ陰イオンどうしが重ならない（接するか離れている）」という配置ができる $n$ を、$3,4,6,8$ の中からすべて求めよ。

イオン結晶を、陽イオンと陰イオンが変形しない剛体球であるとみなして考える。陰イオンの半径はどれも $r_{-}$ で等しいとする。

• 6 配位: 陽イオンが、6 個の陰イオンの中心を頂点とする正八面体の中心にある。
• 8 配位: 陽イオンが、8 個の陰イオンの中心を頂点とする立方体の中心にある。

それぞれの配位について、陽イオンがまわりのすべての陰イオンに接し、さらに正八面体の辺（6 配位）または立方体の辺（8 配位）で結ばれたとなりどうしの陰イオンも互いに接している状態を「限界の状態」とよぶ。6 配位と 8 配位の限界の状態での陽イオンの半径をそれぞれ $r_6$, $r_8$ とするとき、比 $\frac{r_8}{r_6}$ を求めよ。答えは分母に根号を含まない形で、できるだけ簡単にして答えよ。

イオン結晶中のイオンを、変形しない剛体球とみなす。半径 $r_{+}=0.074\mathrm{nm}$ の陽イオン $\mathrm{M}$ が、4 個の陰イオン ${\mathrm{X}}_1$, ${\mathrm{X}}_2$, ${\mathrm{X}}_3$, ${\mathrm{X}}_4$（半径はどれも $r_{-}=0.184\mathrm{nm}$）に囲まれた 4 配位をとっている。4 個の陰イオンの中心は正四面体の頂点にあり、$\mathrm{M}$ の中心はその正四面体の中心にある。

剛体球どうしは重ならず、$\mathrm{M}$ と陰イオンの中心間距離は、この条件のもとでできるだけ小さくなるように配置されるとする。このとき、となり合う 2 個の陰イオン（たとえば ${\mathrm{X}}_1$ と ${\mathrm{X}}_2$）の表面どうしの最短距離（中心間距離から 2 つの半径を引いた値）は何 nm か。有効数字 3 桁で求めよ。

電気量 $+e$ の陽イオン 3 個と $-e$ の陰イオン 4 個の計 7 個が、一直線上に間隔 $r_0$ で、隣り合うイオンの符号が交互になるように並んでいる。中央（端から 4 番目）のイオンは陽イオンで、両端のイオンは陰イオンである。この 7 個だけからなる配列で、中央の陽イオンがほかの 6 個のイオンから受けるクーロンエネルギーの和を
$$U=-\frac{M{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_0}$$
の形に表したときの定数 $M$ を、既約分数で求めよ。ただし ${\epsilon }_0$ は真空の誘電率であり、電荷 $q_1$, $q_2$ の 2 つの点電荷が距離 $r$ だけ離れているときのクーロンエネルギーは $\frac{q_1{q}_2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$ とする。

酸化鉄(II) は、鉄イオンの位置の一部が空孔になった不定比化合物 ${\mathrm{Fe}}_{1-x}\mathrm{O}$ として得られることが多い。ある試料の組成が ${\mathrm{Fe}}_{0.90}\mathrm{O}$ であった。この結晶中の鉄イオンは $\mathrm{F}{\mathrm{e}}^{2+}$ と $\mathrm{F}{\mathrm{e}}^{3+}$ だけであり、酸化物イオンはすべて ${\mathrm{O}}^{2-}$ で、結晶全体は電気的に中性であるとする。鉄イオン全体のうち $\mathrm{F}{\mathrm{e}}^{3+}$ が占める物質量の割合を、既約分数で求めよ（$0.90$ は正確な値とみなす）。