固体化学と結晶学の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学化学固体化学と結晶学

イオン結晶中の陽イオンと陰イオンを、変形しない剛体球とみなす。陽イオンの半径を $r_{+} = 0.095 nm$ 、陰イオンの半径を $r_{-} = 0.181 nm$ とする。

1 個の陽イオンのまわりに $n$ 個の陰イオンを、陰イオンの中心が次の図形の頂点にくるように配置する。陽イオンの中心は、その図形の中心（すべての頂点から等距離の点）にあるものとする。

$n = 3$ : 正三角形
$n = 4$ : 正四面体
$n = 6$ : 正八面体
$n = 8$ : 立方体

このとき、「陽イオンが $n$ 個の陰イオンすべてに接し、かつ陰イオンどうしが重ならない（接するか離れている）」という配置ができる $n$ を、 $3, 4, 6, 8$ の中からすべて求めよ。

陽イオン陰イオン

n = 3

の配置の模式図（イオンの大きさの比は正確ではない）

この問題で使うもの

イオン半径比と配位数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（20 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

陽イオンが陰イオンに接することから、図形の中心から頂点までの距離を $r_{+} + r_{-}$ で表し、陰イオンどうしが重ならない条件を「図形の 1 辺の長さ $\geq 2 r_{-}$ 」と表しましょう。

ヒント 2

各図形で、1 辺の長さ $d$ と中心から頂点までの距離 $R$ の関係を求めます。たとえば立方体では体対角線 $3 d$ が $2 R$ 、正八面体では正方形の断面の対角線 $2 d$ が $2 R$ です。

ヒント 3

$d = k R$ とすると、条件は $\frac{r _{+}}{r _{-}} \geq \frac{2}{k} - 1$ になります。正八面体では $2 - 1 \approx 0.414$ 、立方体では $3 - 1 \approx 0.732$ です。これを $\frac{0.095}{0.181}$ と比べましょう。

答えと解説

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{3, 4, 6}

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解説を読む

陽イオンがすべての陰イオンに接するので、陽イオンの中心から各陰イオンの中心までの距離（図形の外接球（外接円）の半径）は
$R = r_{+} + r_{-} = 0.095 + 0.181 = 0.276 nm$
である。陰イオンどうしが重ならない条件は、隣り合う陰イオンの中心間距離、すなわち図形の 1 辺の長さ $d$ が $d \geq 2 r_{-} = 0.362 nm$ を満たすことである。

各図形について、1 辺の長さ $d$ と中心から頂点までの距離 $R$ の関係を求める。

正三角形: $R = \frac{d}{3}$ より $d = 3 R$
正四面体: $R = \frac{6}{4} d$ より $d = \frac{4}{6} R = \frac{2 6}{3} R$
正八面体: 中心を通る正方形の断面の対角線が $2 R$ なので $2 R = 2 d$ 、 $d = 2 R$
立方体: 体対角線が $2 R$ なので $2 R = 3 d$ 、 $d = \frac{2}{3} R$

$d = k R$ とおくと、条件 $k (r_{+} + r_{-}) \geq 2 r_{-}$ は
$\frac{r _{+}}{r _{-}} \geq \frac{2}{k} - 1$
と書ける。右辺（限界半径比）はそれぞれ
- $n = 3$ : $\frac{2}{3} - 1 \approx 0.155$
- $n = 4$ : $\frac{6}{2} - 1 \approx 0.225$
- $n = 6$ : $2 - 1 \approx 0.414$
- $n = 8$ : $3 - 1 \approx 0.732$

一方、与えられた半径比は
$\frac{r _{+}}{r _{-}} = \frac{0.095}{0.181} \approx 0.525$
である。これは $0.155, 0.225, 0.414$ 以上だが、 $0.732$ より小さい。

（確認: $n = 6$ では $d = 2 \times 0.276 \approx 0.390 nm \geq 0.362 nm$ 。 $n = 8$ では $d = \frac{2}{3} \times 0.276 \approx 0.319 nm < 0.362 nm$ となり、陰イオンどうしが重なってしまう。）

よって条件を満たす $n$ は ${3, 4, 6}$ である。

別解

陽イオンの中心から各頂点（陰イオンの中心）までの距離は $d = r_{+} + r_{-} = 0.095 + 0.181 = 0.276 nm$ である。陰イオンどうしが重ならない条件は、頂点間の最短距離（辺の長さ） $a \geq 2 r_{-} = 0.362 nm$ である。

$n = 3$ （正三角形）：外接円の半径が $d$ なので $a = 3 d = 0.478 nm \geq 0.362$ 。条件を満たす。
$n = 4$ （正四面体）： $a = 8/3 d = 0.451 nm \geq 0.362$ 。条件を満たす。
$n = 6$ （正八面体）： $a = 2 d = 0.390 nm \geq 0.362$ 。条件を満たす。
$n = 8$ （立方体）： $a = 2 d / 3 = 0.319 nm < 0.362$ 。陰イオンどうしが重なるので不可。

半径比で確認する。 $r_{+} / r_{-} = 0.095/0.181 = 0.525$ である。限界半径比は $n = 3$ で $0.155$ 、 $n = 4$ で $0.225$ 、 $n = 6$ で $0.414$ 、 $n = 8$ で $0.732$ である。 $0.525$ は $0.414$ 以上で $0.732$ 未満なので、 $n = 3, 4, 6$ が可能で、 $n = 8$ は不可能。

$n = 3, 4$ では陰イオンどうしが離れているが、問題の条件（接するか離れている）に含まれる。

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