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固体化学と結晶学の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学化学固体化学と結晶学

格子定数 $a = 0.400 nm$ の立方晶の結晶に、波長 $λ = 0.200 nm$ の X 線を当てる。 $(200)$ 面による回折がブラッグの式 $2 d_{hk l} sin θ = λ$ を満たす視射角 $θ$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ ）を、弧度法で求めよ。ただし立方晶の面間隔は $d_{hk l} = \frac{a}{h ^{2} + k ^{2} + l ^{2}}$ であり、与えた数値は正確な値とみなす。

(200)

面

θ

(200)

面による X 線の反射（模式図）

この問題で使うもの

ブラッグの式と回折角（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（43 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ブラッグの式 $2 d_{hk l} sin θ = λ$ を使います。まず $(200)$ 面の面間隔を求めましょう。

ヒント 2

$d_{200} = \frac{a}{2 ^{2} + 0 ^{2} + 0 ^{2}} = \frac{a}{2}$ です。

ヒント 3

$d_{200} = 0.200 nm$ なので $sin θ = \frac{0.200}{2 \times 0.200}$ です。この値になる $θ$ を $0 < θ < \frac{π}{2}$ の範囲で求めます。

答えと解説

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\frac{π}{6}

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解説を読む

ブラッグの式 $2 d_{hk l} sin θ = λ$ は、となり合う格子面で反射した X 線の行路差 $2 d sin θ$ が波長に等しいとき、反射波が強め合うことを表す。まず面間隔を求め、次に $sin θ$ を求める。

手順 1: 面間隔 $d_{200}$ を求める。 $h = 2$ , $k = 0$ , $l = 0$ より $h^{2} + k^{2} + l^{2} = 4$ なので
$d_{200} = \frac{0.400}{4} = 0.200 nm$

手順 2: ブラッグの式から $sin θ$ を求める。
$sin θ = \frac{λ}{2 d _{200}} = \frac{0.200}{2 \times 0.200} = \frac{1}{2}$

手順 3: $θ$ を求める。 $0 < θ < \frac{π}{2}$ で $sin θ = \frac{1}{2}$ となるのは
$θ = \frac{π}{6}$

よって視射角は $\frac{π}{6}$ （ $3 0^{\circ}$ ）であり、回折角 $2 θ$ は $\frac{π}{3}$ になる。

（参考: $(200)$ 面の 1 次回折は、 $(100)$ 面（ $d_{100} = 0.400 nm$ ）の 2 次回折 $2 d_{100} sin θ = 2 λ$ と同じ条件である。）

別解

$d_{200} = \frac{0.400}{2 ^{2} + 0 ^{2} + 0 ^{2}} = \frac{0.400}{2} = 0.200 nm$ 。ブラッグの式 $2 d sin θ = λ$ より $sin θ = \frac{0.200}{2 \times 0.200} = \frac{1}{2}$ 。 $0 < θ < \frac{π}{2}$ なので $θ = \frac{π}{6}$ （ $3 0^{\circ}$ ）。検算: $2 \times 0.200 \times sin (π /6) = 0.400 \times 0.5 = 0.200 = λ$ で一致する。

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