固体化学と結晶学の問題

六方晶の単位格子の基本ベクトルが、原点 O を始点として、直交座標で
$${\vec{a}}_1=(a,0,0),{\vec{a}}_2=\left(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}a,0\right),{\vec{a}}_3=(0,0,c)$$
で与えられている。ただし $a>0$, $c>0$ である。この単位格子の体積 $V=|{\vec{a}}_1\cdot ({\vec{a}}_2\times {\vec{a}}_3)|$ を $a$, $c$ を用いて表せ。

格子定数 $a=0.400\mathrm{nm}$ の単純立方格子を考える。単位格子の 1 つの頂点を原点 O とし、単位格子の 3 本の辺に沿って $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸をとる。ある格子面が $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸とそれぞれ点 $\mathrm{P}\left(\frac{a}{2},0,0\right)$、$\mathrm{Q}(0,a,0)$、$\mathrm{R}(0,0,a)$ で交わっている。この格子面のミラー指数 $(hkl)$ で表される面の族について、隣り合う面の間隔 $d_{hkl}$ を $\mathrm{nm}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。ただし、立方晶の面間隔は
$$d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$$
で与えられるものとする。

ある単体の結晶は単純六方格子をとり、単位格子の基本ベクトルは直交座標で
$${\vec{a}}_1=(a,0,0),{\vec{a}}_2=\left(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}a,0\right),{\vec{a}}_3=(0,0,a)$$
である（$a>0$。$c$ 軸の長さも $a$ に等しい）。原子は単位格子の頂点（分率座標 $(0,0,0)$）にだけあり、単位格子 1 つあたり 1 個の原子を含む。原子を半径 $r$ の球とみなし、最近接の原子どうし（距離 $a$）が接しているとき、この結晶の充填率を正確な値で求めよ。

格子定数 $a=0.600\mathrm{nm}$ の立方晶の結晶がある。この結晶の $(221)$ 面の面間隔 $d_{221}$ は何 nm か。立方晶の面間隔の式 $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$ を用いて求め、正確な値（分数または小数）で答えよ（$0.600$ は正確な値とみなす）。

格子定数 $a=0.300\mathrm{nm}$ の体心立方格子をとる単体の金属の粉末に、波長 $\lambda =0.150\mathrm{nm}$ の X 線を当てて粉末 X 線回折パターンを測定する。体心立方格子では、$h+k+l$ が奇数の反射は消滅し、$h+k+l$ が偶数の反射だけが観測される。面間隔は $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$、回折の条件はブラッグの式 $2d_{hkl}\sin \theta =\lambda$ とし、$\sin \theta <1$ となる回折線だけが観測されるものとする。同じ $h^2+k^2+l^2$ の値をもつ反射は同じ角度に重なって 1 本の回折線になるとして、観測される回折線は何本か。ただし $h,k,l$ は整数で、$(h,k,l)\ne (0,0,0)$ とする。