重力と弾性力の位置エネルギー

基準を決めて、重力による位置エネルギー $m g h$ と、ばねの弾性力による位置エネルギー $\frac{1}{2} k x^{2}$ を求められる

前提

仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））

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算数中学高校大学大学院

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仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））

説明

物体がある位置にあるとき、重力やばねの力によって「仕事をする能力」をどれだけたくわえているかを、位置エネルギーとして数値で表せるようになります。重力による位置エネルギーは $m g h$ 、ばねの弾性力による位置エネルギーは $\frac{1}{2} k x^{2}$ で求めます。どちらも「基準」を決めてから求めます。この量は、のちに力学的エネルギー保存を使って速さや高さを求める場面の土台になります。

なぜそうしてよいのか

位置エネルギーは、「物体がいまの位置から基準の位置まで移動する間に、その力（重力や弾性力）が物体にする仕事」と決めます。重力は大きさ $m g$ で鉛直下向きの一定の力です。基準より $h$ だけ高い位置から真下に基準まで移動すると、力と移動の向きが同じ（なす角 $0^{\circ}$ ）なので、仕事は $W = m g \cdot h cos 0^{\circ} = m g h$ です。傾き $θ$ の斜面に沿って長さ $L$ だけ下っても、重力と移動の向きのなす角は $9 0^{\circ} - θ$ なので $W = m g L cos (9 0^{\circ} - θ) = m g L sin θ = m g h$ となり、通り道によらず高さの差 $h$ だけで決まります。基準より低い位置では、基準まで上がるときに重力は負の仕事 $- m g ∣ h ∣$ をするので、高さ $h$ を負の値にすれば同じ式 $U = m g h$ で表せます。

ばねの場合、基準は自然長の位置です。伸び $x$ の位置から自然長に戻るまで、弾性力は物体を自然長の向きに引き、移動の向きと同じなので正の仕事をします。ただし弾性力の大きさはフックの法則 $F = k x^{'}$ （ $x^{'}$ はそのときの伸び）で、移動とともに $k x$ から $0$ まで変わるので、 $W = F x cos θ$ をそのままは使えません。そこで移動を細かく区切ると、各区間では力はほぼ一定なので、その区間の仕事は「力×短い移動距離」、つまり横軸に伸び、縦軸に力の大きさをとったグラフの細い長方形の面積になります。これを全部足すと、グラフ $F = k x^{'}$ の下の三角形の面積になります。

$U = \frac{1}{2} \times x \times k x = \frac{1}{2} k x^{2}$

縮み $x$ の場合も、弾性力は自然長の向きに押し戻すので同じく正の仕事になり、 $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ です。 $x$ が2乗なので、伸びでも縮みでも弾性力による位置エネルギーは $0$ 以上になります。

手順

基準を決める。重力では基準の高さ（床、机の面など、自由に選べる）を決める。ばねの $\frac{1}{2} k x^{2}$ では、基準は必ず自然長の位置とする。
重力の場合：基準からの高さ $h$ を求める。基準より上なら $h > 0$ 、下なら $h < 0$ とし、 $U = m g h$ を計算する。
ばねの場合：自然長からの伸びまたは縮み $x$ を求める（ばねの全長ではない）。 $x = ∣ 全長 - 自然長 ∣$
単位を kg、m、N/m にそろえてから $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ （または $U = m g h$ ）に代入する。答えの単位は J になる。

例題

ばね定数 $50 N/m$ 、自然長 $0.20 m$ の軽いばねがある。このばねを引き伸ばして、全長を $0.30 m$ にした。このとき、ばねにたくわえられている弾性力による位置エネルギーは何 J か。基準は自然長の状態とし、有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1：基準は自然長の状態とする（ $\frac{1}{2} k x^{2}$ の式はこの基準で使う）。
手順3：自然長からの伸び $x$ を求める。全長ではなく、自然長との差をとる。
$x = 0.30 - 0.20 = 0.10 m$
手順4：単位は N/m と m にそろっているので、そのまま代入する。
$U = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} \times 50 \times (0.10)^{2} = \frac{1}{2} \times 50 \times 0.010 = 0.25 J$
よって、位置エネルギーは $0.25 J$ である。

答え: $0.25$

よくある誤り

ばねの全長を $x$ に代入してしまう誤り。例題で $\frac{1}{2} \times 50 \times (0.30)^{2} = 2.25 J$ としてしまう。正しくは自然長からの伸び $x = 0.30 - 0.20 = 0.10 m$ を使い、 $\frac{1}{2} \times 50 \times (0.10)^{2} = 0.25 J$ 。
弾性力の大きさ $k x$ に伸び $x$ をそのまま掛けて $U = k x^{2}$ としてしまう誤り。力は $0$ から $k x$ まで変わるので、仕事はグラフの三角形の面積になる。正しくは $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ 。
基準より低い位置でも $h$ を正にしてしまう誤り。例えば質量 $2.0 kg$ の物体が基準より $0.70 m$ 低いとき、 $U = + 2.0 \times 9.8 \times 0.70$ としてしまう。正しくは $h = - 0.70 m$ として $U = 2.0 \times 9.8 \times (- 0.70) \approx - 14 J$ （ $g = 9.8 m/ s^{2}$ のとき）。
cm のまま代入してしまう誤り。例えば $k = 50 N/m$ 、伸び $10 cm$ で $\frac{1}{2} \times 50 \times 1 0^{2} = 2500$ としてしまう。正しくは $10 cm = 0.10 m$ に直して $\frac{1}{2} \times 50 \times (0.10)^{2} = 0.25 J$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
重力・弾性力による位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））
点電荷の電位と電位の重ね合わせ（高校物理電場と電位・コンデンサー）