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仕事・エネルギーと運動量の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理仕事・エネルギーと運動量

水平な床の上に、半径 $R$ のなめらかな半球を、平らな面を下にして固定する。半球の中心（平らな面の円の中心）を $O$ 、半球面の最高点を $A$ とする。質量 $m$ の小物体を点 $A$ に置き、水平方向に大きさ $v_{0} = \frac{g R}{2}$ の速さを与えたところ、小物体は半球面に沿って、 $O$ を含む鉛直面内ですべり下り、途中で半球面から離れた。小物体が半球面から離れる点の、床からの高さを $R$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小物体の大きさは無視できるものとする。

O

A

R

v_{0}

この問題で使うもの

力学的エネルギー保存則（説明と入口の問題）
重力と弾性力の位置エネルギー（説明と入口の問題）
三角比の定義と値（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

点 A から角 $θ$ だけ回った位置での速さを、力学的エネルギー保存の法則で $θ$ を使って表しましょう。面から離れるのは垂直抗力が $0$ になるときです。

ヒント 2

円運動の中心方向の運動方程式 $m \frac{v ^{2}}{R} = m g cos θ - N$ と、 $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 g R (1 - cos θ)$ を組み合わせます。

ヒント 3

代入すると $N = m g (3 cos θ - \frac{5}{2})$ となります。 $N = 0$ となる $cos θ$ を求め、高さ $R cos θ$ を計算しましょう。

答えと解説

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\frac{5 R}{6}

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解説を読む

小物体が半球面上にあり、 $OA$ と $O$ から小物体へ引いた線分のなす角が $θ$ のときの速さを $v$ 、面からの垂直抗力の大きさを $N$ とする。

力学的エネルギー保存

半球面はなめらかなので摩擦力ははたらかず、垂直抗力は運動の向きに垂直なので仕事をしない。仕事をする力は重力（保存力）だけなので、力学的エネルギーが保存する。点 $A$ から角 $θ$ の位置まで、小物体は $R - R cos θ$ だけ下がるので
$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} + m g R (1 - cos θ) = \frac{1}{2} m v^{2}$
$v^{2} = v_{0}^{2} + 2 g R (1 - cos θ) = \frac{g R}{2} + 2 g R - 2 g R cos θ = \frac{5}{2} g R - 2 g R cos θ (1)$

中心方向の運動方程式

小物体は $O$ を中心とする半径 $R$ の円運動をしている。中心向きには重力の成分 $m g cos θ$ と、外向きの垂直抗力 $N$ がはたらくので
$m \frac{v ^{2}}{R} = m g cos θ - N$
$N = m g cos θ - \frac{m v ^{2}}{R} (2)$

(なお $θ = 0$ のとき $N = m g - \frac{m}{R} \cdot \frac{g R}{2} = \frac{m g}{2} > 0$ なので、小物体は最初は面から離れない。)

面から離れる条件

面から離れるのは $N = 0$ となるときである。(2) に (1) を代入して
$N = m g cos θ - m (\frac{5}{2} g - 2 g cos θ) = m g (3 cos θ - \frac{5}{2})$
$θ$ が大きくなると $cos θ$ は小さくなり $N$ は減っていく。 $N = 0$ より
$3 cos θ = \frac{5}{2}, cos θ = \frac{5}{6}$

半球の平らな面は床に接しているので、 $O$ は床の上にある。離れる点の床からの高さは
$R cos θ = \frac{5 R}{6}$

別解

半球の平らな面が床にあるので、中心 O は床の高さにある。A から鉛直軸となす角 $θ$ の点での速さを $v$ とする。この点の床からの高さは $R cos θ$ 。
力学的エネルギー保存: $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} + m g R = \frac{1}{2} m v^{2} + m g R cos θ$ より $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 g R (1 - cos θ) = \frac{g R}{2} + 2 g R (1 - cos θ)$ 。
半径方向（O に向かう向き）の運動方程式: $m \frac{v ^{2}}{R} = m g cos θ - N$ 。
離れる条件は $N = 0$ なので $v^{2} = g R cos θ$ 。
$g R cos θ = \frac{g R}{2} + 2 g R - 2 g R cos θ$ より $3 cos θ = \frac{5}{2}$ 、 $cos θ = \frac{5}{6}$ 。
床からの高さ $= R cos θ = \frac{5}{6} R$ 。
検算: $v^{2} = g R \cdot \frac{5}{6}$ 、エネルギー側は $\frac{g R}{2} + 2 g R \cdot \frac{1}{6} = \frac{g R}{2} + \frac{g R}{3} = \frac{5 g R}{6}$ で一致。また A では $v_{0}^{2} = g R /2 < g R$ なので、はじめは面にそって動く。

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