仕事・エネルギーと運動量の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理仕事・エネルギーと運動量

鉛直面内に固定された、半径 $R$ のなめらかな円形のレールがある。質量 $m$ の小球は、このレールの内側に沿って運動できる。レールの最下点で、小球に水平向きに大きさ $v_{0} = \frac{7 g R}{2}$ の速さを与えたところ、小球はレールの内側に沿って上昇し、途中でレールから離れたのち、放物運動をした。

重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。また小球の大きさは無視でき、レールから離れたあと最高点に達するまでの間に小球はレールに触れないものとする。

レールから離れたあとの小球が達する最高点の、レールの最下点からの高さを、 $R$ を用いて表せ。

R

v_{0}

m

この問題で使うもの

力学的エネルギー保存則（説明と入口の問題）
運動方程式（説明と入口の問題）
三角比の定義と値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（47 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

小球がレールから離れる条件は、垂直抗力が $0$ になることです。力学的エネルギー保存と中心方向の運動方程式を組み合わせましょう。

ヒント 2

中心を通る水平線から角 $φ$ 上の位置では、高さが $R (1 + sin φ)$ 、重力の中心向き成分が $m g sin φ$ です。 $N = 0$ のとき $v^{2} = g R sin φ$ となります。

ヒント 3

$sin φ = \frac{1}{2}$ で離れ、そのときの高さは $\frac{3}{2} R$ 、 $v^{2} = \frac{1}{2} g R$ です。速度は半径に垂直なので水平から $6 0^{\circ}$ 上向きで、その鉛直成分から放物運動の上昇分を求めましょう。

答えと解説

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\frac{27 R}{16}

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解説を読む

レールから離れる位置. レールの中心を O とし、小球の位置を、O を通る水平線から上向きに測った角 $φ$ （O から小球へ向かう線と水平線のなす角）で表す。このとき最下点からの高さは $R (1 + sin φ)$ である。

レールはなめらかで、垂直抗力は運動方向と垂直なので仕事をしない。仕事をする力は重力（保存力）だけなので、力学的エネルギーが保存する。位置 $φ$ での速さを $v$ とすると
$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g R (1 + sin φ)$
より
$v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g R (1 + sin φ) = \frac{7}{2} g R - 2 g R - 2 g R sin φ = \frac{3}{2} g R - 2 g R sin φ .$

中心方向の運動方程式は、垂直抗力の大きさを $N$ として（重力の中心向き成分は $m g sin φ$ ）
$m \frac{v ^{2}}{R} = N + m g sin φ .$
レールから離れるのは $N = 0$ となるときなので $v^{2} = g R sin φ$ 。これをエネルギーの式と連立して
$g R sin φ = \frac{3}{2} g R - 2 g R sin φ ⟹ sin φ = \frac{1}{2} .$
よって $φ = 3 0^{\circ}$ で離れ、そのときの高さは $R (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} R$ 、速さは $v^{2} = \frac{1}{2} g R$ である。

放物運動. 離れる瞬間の速度はレールの接線方向、つまり半径 OP に垂直である。半径は水平から $3 0^{\circ}$ 上向きなので、速度は水平から $6 0^{\circ}$ 上向き（円の内側へ向かう向き）になる。速度の鉛直成分は
$v_{y} = v sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2} v .$
放物運動では水平方向の速度は変わらず、鉛直方向は加速度 $- g$ の等加速度運動なので、最高点までにさらに上がる高さは
$Δ h = \frac{v _{y}^{2}}{2 g} = \frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} g R}{2 g} = \frac{3}{16} R .$

答え. 最高点の最下点からの高さは
$\frac{3}{2} R + \frac{3}{16} R = \frac{27}{16} R .$

（参考: 最高点は中心 O から水平に $\frac{3 3}{8} R$ 、上に $\frac{11}{16} R$ の位置にあり、 $(\frac{3 3}{8})^{2} + (\frac{11}{16})^{2} = \frac{229}{256} < 1$ なのでレールの内側にある。）

別解

円の中心 O を通る水平面より上で、半径が水平と角 $θ$ をなす位置で小球がレールから離れるとする。この位置の高さは最下点から $R + R sin θ$ 。\n\n離れる位置での速さを $v$ とする。力学的エネルギー保存より $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g R (1 + sin θ)$ 。よって $v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g R (1 + sin θ) = \frac{7 g R}{2} - 2 g R - 2 g R sin θ = \frac{3 g R}{2} - 2 g R sin θ$ 。\n\n離れる直前に垂直抗力 $N = 0$ 。中心向きの運動方程式は、重力の中心向き成分が $m g sin θ$ なので $m \frac{v ^{2}}{R} = N + m g sin θ = m g sin θ$ 。よって $v^{2} = g R sin θ$ 。\n\n両式から $g R sin θ = \frac{3 g R}{2} - 2 g R sin θ$ より $sin θ = \frac{1}{2}$ （ $θ = 3 0^{\circ}$ ）、 $v^{2} = \frac{g R}{2}$ 。離れる位置の高さは $R (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3 R}{2}$ 。\n\n離れた直後の速度は円の接線方向で、水平から測って（半径が水平と $θ$ をなす位置では）鉛直成分は $v cos θ$ （上向き）。鉛直成分の 2 乗は $v^{2} cos^{2} θ = \frac{g R}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 g R}{8}$ 。放物運動で最高点に達するまでの上昇は $\frac{( v c o s θ ) ^{2}}{2 g} = \frac{3 R}{16}$ 。\n\n最高点の高さは $\frac{3 R}{2} + \frac{3 R}{16} = \frac{27 R}{16}$ 。\n\n検算：最高点での速さは水平成分 $v sin θ = g R /2 \cdot \frac{1}{2}$ で、 $v_{h}^{2} = \frac{g R}{8}$ 。エネルギー保存より $\frac{1}{2} v_{0}^{2} = \frac{7 g R}{4}$ 、 $g h + \frac{1}{2} v_{h}^{2} = g \cdot \frac{27 R}{16} + \frac{g R}{16} = \frac{28 g R}{16} = \frac{7 g R}{4}$ となり一致する。また $v_{0}^{2} = \frac{7 g R}{2} \geq 3 g R$ の通り、最下点から一周はできず、 $2 g R <$ 高さ…中心より上で離れる条件 $\frac{5 g R}{2} < v_{0}^{2} < 5 g R$ を満たす。

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