仕事・エネルギーと運動量の問題

粗い水平な床の上に質量 $m$ の小物体を置き、ばね定数 $k$ の軽いばねの一端をこの小物体に、他端を鉛直な壁に取りつけた。ばねは水平で、小物体はばねの伸び縮みの方向の一直線上だけを動く。小物体と床の間の動摩擦係数は $\mu$、静止摩擦係数は $\frac{3}{2}\mu$ である。

ばねが自然の長さから $\frac{9\mu mg}{2k}$ だけ伸びた位置まで小物体を引き、静かに手をはなしたところ、小物体は動き出し、やがて静止した。手をはなしてから完全に静止するまでに、小物体が床の上を移動した道のりの合計を、$m$, $g$, $k$, $\mu$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

水平な床の上に、半径 $R$ のなめらかな半球を、平らな面を下にして固定する。半球の中心（平らな面の円の中心）を $\mathrm{O}$、半球面の最高点を $\mathrm{A}$ とする。質量 $m$ の小物体を点 $\mathrm{A}$ に置き、水平方向に大きさ $v_0=\sqrt{\frac{gR}{2}}$ の速さを与えたところ、小物体は半球面に沿って、$\mathrm{O}$ を含む鉛直面内ですべり下り、途中で半球面から離れた。小物体が半球面から離れる点の、床からの高さを $R$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小物体の大きさは無視できるものとする。

なめらかな水平面上に、質量 $2.0\mathrm{kg}$ の板が静止している。板の上面は水平で粗い。板の左端に質量 $1.0\mathrm{kg}$ の小物体を乗せ、小物体だけに右向きの速さ $6.0m/s$ を瞬間的に与えたところ、小物体は板の上をすべり、やがて板と一体となって運動した。小物体は板から落ちなかった。小物体と板の上面の間の動摩擦係数を $0.40$、重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、空気抵抗は無視する。小物体に速さを与えてから、小物体と板が一体となるまでの時間は何 s か。有効数字 2 桁で求めよ。

鉛直面内に固定された、半径 $R$ のなめらかな円形のレールがある。質量 $m$ の小球は、このレールの内側に沿って運動できる。レールの最下点で、小球に水平向きに大きさ $v_0=\sqrt{\frac{7gR}{2}}$ の速さを与えたところ、小球はレールの内側に沿って上昇し、途中でレールから離れたのち、放物運動をした。

重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。また小球の大きさは無視でき、レールから離れたあと最高点に達するまでの間に小球はレールに触れないものとする。

レールから離れたあとの小球が達する最高点の、レールの最下点からの高さを、$R$ を用いて表せ。

なめらかな水平面上に質量 $M$ の台車が静止しており、その上に質量 $m$ の人が静止して立っている。人が台車の上から水平右向きに飛び出したところ、飛び出した直後の、台車から見た人の速度は水平右向きで大きさ $u$ であった。飛び出した直後の台車の速さを、$m$, $M$, $u$ を用いて表せ。ただし、台車は水平面上を一直線上に動き、人も台車もこの直線に平行な鉛直面内で運動するものとする。空気抵抗は無視する。