仕事・エネルギーと運動量の問題

なめらかな水平面上に、質量 $1.6\text{kg}$ の台車が静止している。質量 $0.40\text{kg}$ の小球が、水平面に沿って右向きに速さ $5.0\text{m/s}$ で進んできて、台車の左端の鉛直な面に正面から衝突した。小球と台車は同じ一直線上だけを運動する。衝突していた時間は $0.050\text{s}$ で、その間に台車が小球から受けた力の平均の大きさは $48\text{N}$ であった。右向きを正として、衝突直後の小球の速度は何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、空気抵抗は無視し、台車の車輪と水平面の間の摩擦も無視できるものとする。

水平な床の上に、半径 $R$ のなめらかな半球を、平らな面を下にして固定する。半球の中心（平らな面の円の中心）を $\mathrm{O}$、半球面の最高点を $\mathrm{A}$ とする。質量 $m$ の小物体を点 $\mathrm{A}$ に置き、水平方向に大きさ $v_0=\sqrt{\frac{gR}{2}}$ の速さを与えたところ、小物体は半球面に沿って、$\mathrm{O}$ を含む鉛直面内ですべり下り、途中で半球面から離れた。小物体が半球面から離れる点の、床からの高さを $R$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小物体の大きさは無視できるものとする。

粗い水平な床の上に質量 $m$ の小物体を置き、ばね定数 $k$ の軽いばねの一端をこの小物体に、他端を鉛直な壁に取りつけた。ばねは水平で、小物体はばねの伸び縮みの方向の一直線上だけを動く。小物体と床の間の動摩擦係数は $\mu$、静止摩擦係数は $\frac{3}{2}\mu$ である。

ばねが自然の長さから $\frac{9\mu mg}{2k}$ だけ伸びた位置まで小物体を引き、静かに手をはなしたところ、小物体は動き出し、やがて静止した。手をはなしてから完全に静止するまでに、小物体が床の上を移動した道のりの合計を、$m$, $g$, $k$, $\mu$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

鉛直面内に固定された、半径 $R$ のなめらかな円形のレールがある。質量 $m$ の小球は、このレールの内側に沿って運動できる。レールの最下点で、小球に水平向きに大きさ $v_0=\sqrt{\frac{7gR}{2}}$ の速さを与えたところ、小球はレールの内側に沿って上昇し、途中でレールから離れたのち、放物運動をした。

重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。また小球の大きさは無視でき、レールから離れたあと最高点に達するまでの間に小球はレールに触れないものとする。

レールから離れたあとの小球が達する最高点の、レールの最下点からの高さを、$R$ を用いて表せ。

水平に張られたベルトコンベアのベルトが、モーターによって右向きに一定の速さ $V$ で動き続けている。ベルトの上面は粗く、水平である。このベルトの上に、質量 $m$ の小物体を静かに（地面に対して速度 $0$ で）置いたところ、小物体はベルトの上をすべりながら右向きに加速し、やがてベルトと同じ速さ $V$ になって、その後はベルトに対して静止したまま運ばれた。

小物体とベルトの間の動摩擦係数を ${\mu }^{\prime }$、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。ベルトの速さは小物体を置いたあとも $V$ に保たれ、小物体はベルトの端に達しないものとする。小物体を置いてから小物体の速さが $V$ になるまでの間に、ベルトを一定の速さで動かすためにモーターがベルトにした仕事を、$m$, $V$ を用いて表せ。ただし、ベルトにはたらく力のうち、小物体からの摩擦力以外の力（モーターが打ち消す必要のある抵抗）は考えないものとする。