相対速度を含む分裂

分裂後の速度が一方から見た相対速度 $u$ で与えられたとき、地面に対する速度を $V + u$ のように表して運動量保存則と連立し、各物体の速度を求められる

前提

運動量保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

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算数中学高校大学大学院

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運動量保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

説明

分裂の問題では、「台車に対して速さ $u$ で飛び出す」「ロケットから見て速さ $u$ で燃料を噴射する」のように、一方の物体から見た速さ（相対速度）が与えられることがよくあります。この技能を使うと、相対速度を地面に対する速度に書き直し、運動量保存則と組み合わせて、分裂後の各物体の速度を求められます。人が台車から飛び降りる、砲台から弾を撃ち出す、といった場面で使います。

なぜそうしてよいのか

一直線上で、物体 A の地面に対する速度を $v_{A}$ 、物体 B の地面に対する速度を $v_{B}$ とします。A から見た B の相対速度 $u$ は、B の速度から観測者 A の速度を引いたもので、 $u = v_{B} - v_{A}$ と定義されます。これを移項すると $v_{B} = v_{A} + u$ です。つまり「A から見て $u$ 」と言われたら、B の地面に対する速度は A の地面に対する速度に $u$ を足したものになります。

運動量保存則 $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$ に入れる速度は、すべて同じ基準（ここでは地面）に対する速度でなければなりません。分裂すると、相手の物体も反動で動き出します。そのため、相手に対する速さ $u$ は地面に対する速さとは一致せず、 $u$ をそのまま式に入れることはできません。

そこで、未知の速度を一方だけ $V$ と置き、もう一方を $V + u$ と表します。こうすると未知数は $V$ の 1 つだけになり、運動量保存則の 1 本の式から求まります。

手順

正の向きを決め、一方の物体（観測者側）の分裂後の地面に対する速度を $V$ と置く。
相対速度からもう一方の物体の地面に対する速度を表す。観測者側から見た相対速度を $u$ （向きを含めた符号つき）とすると $V + u$ と書ける。
分裂前の運動量の和と分裂後の運動量の和が等しいとして、運動量保存則の式を立てる。例: $(m_{1} + m_{2}) v_{0} = m_{1} V + m_{2} (V + u)$
$V$ について解き、 $V + u$ に代入してもう一方の速度も求める。最後に符号から向きを読み取る。

例題

なめらかな水平面上に、質量 $M$ の台車が静止しており、その上に質量 $m$ の人が静止して乗っている。人が台車の上を走り、台車から見て右向きに速さ $u$ で台車から水平に飛び出した。飛び出した直後の台車の地面に対する速度を、右向きを正として $m$ , $M$ , $u$ を用いて求めよ。ただし、水平方向には外力ははたらかないものとする。

例題の解答

手順1: 右向きを正とし、飛び出した直後の台車の地面に対する速度を $V$ と置く。
手順2: 人は台車から見て右向きに速さ $u$ で動くので、台車から見た人の相対速度は $+ u$ である。したがって、人の地面に対する速度は $V + u$ となる。
手順3: 水平方向には外力がはたらかないので、水平方向の運動量は保存する。初めは全体が静止しているので、運動量の和は $0$ である。
$0 = M V + m (V + u)$
手順4: この式を整理すると $(M + m) V = - m u$ となるので、
$V = - \frac{m u}{M + m}$
符号が負なので、台車は左向きに速さ $\frac{m u}{M + m}$ で動く。なお、人の地面に対する速度は $V + u = \frac{M u}{M + m}$ （右向き）である。

答え: $- \frac{m u}{M + m}$

よくある誤り

相対速度 $u$ を、そのまま地面に対する速度として運動量保存則に入れてしまう誤り。 $0 = M V + m u$ とすると $V = - \frac{m u}{M}$ となり、正しくない。正しくは、人の地面に対する速度を $V + u$ として $0 = M V + m (V + u)$ を立てる。
分裂前の速度に相対速度を足してしまう誤り。全体が初め速度 $v_{0}$ で動いていたとき、人の速度を $v_{0} + u$ とするのは誤りである。相対速度は分裂後の台車から見たものなので、正しくは分裂後の台車の速度 $V$ を使って $V + u$ とする。式は $(M + m) v_{0} = M V + m (V + u)$ となる。
向きを考えずに $u$ をいつも足してしまう誤り。右向きを正として、台車から見て左向きに速さ $u$ で飛び出すときに $V + u$ とするのは誤りである。正しくは、相対速度が $- u$ なので、人の地面に対する速度は $V - u$ となる。
相対速度の引き算の順番を逆にしてしまう誤り。A から見た B の相対速度を $v_{A} - v_{B}$ とするのは誤りである。正しくは $u = v_{B} - v_{A}$ で、そこから $v_{B} = v_{A} + u$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 4（国公立二次の標準レベル）
なめらかな水平面上に質量 $M$ の台車が静止しており、その上に質量 $m$ の人が静止して立っている。人が台車の上から水平右向きに飛び出したところ、飛び出した直後の、台車から見た人の速度は水平右向きで大きさ $u$ であった。飛び出した直後の台車の速さを、 $m$ , $M$ , $u$ を用いて表せ。ただし、台車は水平面上を一直線上に動き、人も台車もこの直線に平行な鉛直面内で運動するものとする。空気抵抗は無視する。
$M$ $m$ $u$ （台車から見た速度）
人を箱で表した。飛び出すときの向き