運動量保存則

物体系に外力の力積がはたらかない（または無視できる）とき、 $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$ を使い、合体・分裂後の速度を求められる

前提

運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
作用反作用の法則とつり合う 2 力の区別（高校物理力と運動（知識））

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算数中学高校大学大学院

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運動方程式（高校物理力と運動）
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
作用反作用の法則とつり合う 2 力の区別（高校物理力と運動（知識））

説明

2 つ以上の物体がぶつかったり、くっついたり、分かれたりするとき、物体の間で及ぼし合う力は複雑で、その大きさや時間はふつうわかりません。それでも、物体の集まり（物体系）が外から力積を受けなければ、運動量の和は前後で変わりません。これを運動量保存則といい、 $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$ という 1 本の式から、衝突・合体・分裂のあとの速度を求められます。

なぜそうしてよいのか

物体 1（質量 $m_{1}$ ）と物体 2（質量 $m_{2}$ ）が、短い時間 $Δ t$ の間ぶつかって力を及ぼし合うとします。物体 2 が物体 1 に及ぼす力を $F$ とすると、作用反作用の法則により、物体 1 は物体 2 に $- F$ の力を及ぼします。この 2 力は、ぶつかっている間のどの瞬間にも大きさが等しく逆向きです。

それぞれの物体に「運動量の変化 = 受けた力積」を当てはめると
$m_{1} v_{1}^{'} - m_{1} v_{1} = F Δ t, m_{2} v_{2}^{'} - m_{2} v_{2} = - F Δ t$
です。2 式を足すと右辺は打ち消し合って $0$ になり、
$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$
が得られます。物体どうしが及ぼし合う力（内力）は、力積が必ず逆向きで同じ大きさなので、運動量をやりとりするだけで合計は変えないのです。力が途中で変化しても、各瞬間で打ち消し合うので結論は同じです。

ただしこれは、物体系の外から受ける力（外力）の力積がないときだけ成り立ちます。外力があってもつり合っているとき（水平面上での重力と垂直抗力など）や、衝突のように時間がとても短く外力の力積が無視できるときにも使えます。一直線上の運動では、正の向きを決めて、速度を符号つきの数で表して式に入れます。

手順

どの物体をひとまとまりの物体系とするかを決め、外力の力積がはたらかない（または無視できる）ことを確かめる
一直線上の運動なら正の向きを決め、前後の速度を符号つきで表す（逆向きの速度は負、未知の速度は文字のまま置く）
前と後の運動量の和を等しいとおく： $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$ （合体なら後の速度は共通の $V$ として $(m_{1} + m_{2}) V$ ）
式を解いて未知の速度を求め、符号から向きを読み取る

例題

なめらかな水平面上で、質量 $2.0 kg$ の台車 A が右向きに速さ $3.0 m/s$ で進み、静止している質量 $1.0 kg$ の台車 B に衝突して一体となった。一体となった直後の台車の速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1：A と B をひとまとまりの物体系とします。面はなめらかなので水平方向には外力がはたらかず（重力と垂直抗力は鉛直方向でつり合っています）、水平方向の運動量は保存されます。

手順 2：右向きを正とします。衝突前の速度は A が $+ 3.0 m/s$ 、B が $0$ です。一体となった後の速度を $V$ とします。

手順 3：運動量の和が前後で等しいので
$2.0 \times 3.0 + 1.0 \times 0 = (2.0 + 1.0) V$

手順 4： $6.0 = 3.0 V$ より $V = 2.0 m/s$ 。正なので右向きに進みます。速さは $2.0 m/s$ です。

答え: $2.0$

よくある誤り

逆向きに動く物体の速度を正のまま入れてしまう誤り。たとえば質量 $m_{1}$ が右向きに $v$ 、 $m_{2}$ が左向きに $u$ で進むとき $m_{1} v + m_{2} u$ とするもの。正しくは右向きを正として $m_{1} v + m_{2} (- u) = m_{1} v - m_{2} u$
合体した後の質量を片方だけにしてしまう誤り（ $m_{1} v_{1} = m_{1} V$ など）。正しくは一体となった物体の質量は $m_{1} + m_{2}$ で、 $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = (m_{1} + m_{2}) V$
運動量ではなく速さそのものの和や運動エネルギーを保存するとして、 $v_{1} + v_{2} = v_{1}^{'} + v_{2}^{'}$ や $\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) V^{2}$ としてしまう誤り。正しくは保存されるのは質量と速度の積の和 $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}$ で、合体のときは運動エネルギーは保存されない
外力の力積がある場合にも保存則を使ってしまう誤り。たとえば摩擦のある面上で長い時間すべったあとの速度に $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$ を使うもの。正しくは外力の力積 $F Δ t$ が無視できないときは、運動量の和は $F Δ t$ だけ変化する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

相対速度を含む分裂（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
2 物体の正面衝突（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
物体どうしの摩擦と一体化（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
内力・外力と運動量保存の法則（高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））
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質量が変化する系（ロケット）（大学物理力学（質点・剛体））
非相対論的な核反応の運動学（大学物理原子核・素粒子）