2 物体の正面衝突

運動量保存則と反発係数の式 $v_{1}^{'} - v_{2}^{'} = - e (v_{1} - v_{2})$ を連立し、一直線上で衝突する 2 物体の衝突後の速度と、衝突で失われた運動エネルギーを求められる

前提

運動量保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
反発係数と床との衝突（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

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算数中学高校大学大学院

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反発係数と床との衝突（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

説明

一直線上を運動する 2 つの物体が正面からぶつかったとき、衝突直後のそれぞれの速度を求められるようになります。さらに、衝突で失われた運動エネルギー（熱や音などに変わった分）も計算できます。ビリヤードの球どうしや台車どうしの衝突などで使います。未知数は $v_{1}^{'}$ と $v_{2}^{'}$ の 2 つなので、運動量保存則と反発係数の式の 2 本を連立して解きます。

なぜそうしてよいのか

衝突の間に 2 物体がおよぼし合う力は、作用反作用の関係にある内力です。ほかに運動方向の外力の力積がなければ（または無視できれば）、2 物体の運動量の和は変わりません。そのため $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$ が成り立ちます。しかし未知数は $v_{1}^{'}$ と $v_{2}^{'}$ の 2 つなので、この式 1 本だけでは衝突後の速度は決まりません。どれだけ「はね返るか」を表す式がもう 1 本必要です。

床との衝突では $e = - \frac{v ^{'}}{v}$ でした。これは、床に近づく速さと床から遠ざかる速さの比です。床は動かない（速度 0）ので、小球の速度そのものが床に対する速度（相対速度）になっていました。2 物体の場合も同じように考えます。ただし相手も動いているので、物体 2 から見た物体 1 の速度 $v_{1} - v_{2}$ （相対速度）を使います。衝突前の相対速度は $v_{1} - v_{2}$ 、衝突後は $v_{1}^{'} - v_{2}^{'}$ です。 $e > 0$ のとき、衝突すると相対速度の向きは逆になり、その大きさは $e$ 倍になります。これを式にすると $v_{1}^{'} - v_{2}^{'} = - e (v_{1} - v_{2})$ です。 $e = 0$ のときは、この式から衝突後の相対速度が 0 になります。つまり 2 物体は一体となって動きます。物体 2 を床とみなして $v_{2} = v_{2}^{'} = 0$ とおくと $v_{1}^{'} = - e v_{1}$ となり、床との衝突の式に戻ります。 $e$ は $0 \leq e \leq 1$ の値をとります。 $e = 1$ の衝突を弾性衝突、 $0 \leq e < 1$ の衝突を非弾性衝突といい、そのうち $e = 0$ の場合を完全非弾性衝突といいます。

衝突の瞬間には物体が変形したり音や熱が出たりするので、運動エネルギーの和は一般には減ります。衝突前の運動エネルギーの和から衝突後の和を引けば、失われた量が求められます。運動エネルギーの和が保存される（失われる量が 0 になる）のは $e = 1$ のときだけです。

手順

一直線上で正の向きを決め、各物体の衝突前の速度 $v_{1}, v_{2}$ を符号つきで書く（正の向きと逆に動く物体の速度は負）。衝突後の速度は $v_{1}^{'}, v_{2}^{'}$ とおく。向きがわからなくても、正の向きに動くと仮定してよい
運動量保存則の式を立てる： $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$
反発係数の式を立てる： $v_{1}^{'} - v_{2}^{'} = - e (v_{1} - v_{2})$ 。右辺のマイナスを落とさないように、符号に注意する（両辺に $- 1$ をかけた $v_{2}^{'} - v_{1}^{'} = e (v_{1} - v_{2})$ でもよい）
2 式を連立して $v_{1}^{'}, v_{2}^{'}$ を求め、答えの符号から向きを判断する（負なら正の向きと逆向き）
失われた運動エネルギーを求める： $Δ K = (\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}) - (\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{'2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{'2})$

例題

なめらかな水平面上の一直線上で、質量 $2.0 kg$ の小球 A が右向きに $3.0 m/s$ で、質量 $1.0 kg$ の小球 B が左向きに $3.0 m/s$ で進み、正面衝突した。A と B の間の反発係数は $0.50$ とする。右向きを正として、衝突直後の A の速度〔m/s〕、衝突直後の B の速度〔m/s〕、衝突で失われた運動エネルギー〔J〕を、有効数字 2 桁で順に求めよ。

例題の解答

手順 1：右向きを正とすると、衝突前の速度は $v_{A} = 3.0 m/s$ 、 $v_{B} = - 3.0 m/s$ です（B は左向きなので負）。衝突後の速度を $v_{A}^{'}, v_{B}^{'}$ とおきます。

手順 2：水平方向には外力がはたらかないので、運動量保存則より
$2.0 \times 3.0 + 1.0 \times (- 3.0) = 2.0 v_{A}^{'} + 1.0 v_{B}^{'}$
となり、 $2.0 v_{A}^{'} + v_{B}^{'} = 3.0$ …①

手順 3：反発係数の式より
$v_{A}^{'} - v_{B}^{'} = - 0.50 {3.0 - (- 3.0)} = - 3.0$ …②

手順 4：①と②を辺々加えると $3.0 v_{A}^{'} = 0$ なので、 $v_{A}^{'} = 0 m/s$ です。これを②に代入すると $v_{B}^{'} = 3.0 m/s$ です。A は衝突後に止まり、B は右向きに $3.0 m/s$ ではね返ります。

手順 5：衝突前の運動エネルギーの和は $\frac{1}{2} \times 2.0 \times 3. 0^{2} + \frac{1}{2} \times 1.0 \times (- 3.0)^{2} = 9.0 + 4.5 = 13.5 J$ です。衝突後の和は $\frac{1}{2} \times 2.0 \times 0^{2} + \frac{1}{2} \times 1.0 \times 3. 0^{2} = 4.5 J$ です。よって、失われた運動エネルギーは $13.5 - 4.5 = 9.0 J$ です。

答え：A の速度 $0 m/s$ 、B の速度 $3.0 m/s$ 、失われた運動エネルギー $9.0 J$

答え: $(0, 3.0, 9.0)$

よくある誤り

逆向きに動く物体の速度を、正のまま代入してしまう誤り。例題で $v_{B} = 3.0$ として $2.0 \times 3.0 + 1.0 \times 3.0 = 2.0 v_{A}^{'} + v_{B}^{'}$ と書いてしまう、などです。正しくは、正の向きを決めてから $v_{B} = - 3.0$ のように符号をつけて代入します。
反発係数の式で、マイナスを落として $v_{1}^{'} - v_{2}^{'} = e (v_{1} - v_{2})$ と書いたり、左辺の引く順番だけを入れかえて $v_{2}^{'} - v_{1}^{'} = - e (v_{1} - v_{2})$ と書いたりする誤り。例題でこう書くと $v_{A}^{'} - v_{B}^{'} = + 3.0$ となり、 $v_{A}^{'} = 2.0$ 、 $v_{B}^{'} = - 1.0$ という誤った答えになります。正しくは $v_{1}^{'} - v_{2}^{'} = - e (v_{1} - v_{2})$ 、または両辺に $- 1$ をかけた $v_{2}^{'} - v_{1}^{'} = e (v_{1} - v_{2})$ です。
運動エネルギーも保存すると考えて $\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{'2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{'2}$ を使ってしまう誤り。これが成り立つのは $e = 1$ （弾性衝突）のときだけです。一般には運動量保存則と反発係数の式で速度を求め、運動エネルギーは失われた量を求めるときに使います。
失われた運動エネルギーを「衝突後 − 衝突前」で計算し、例題で $4.5 - 13.5 = - 9.0 J$ と答えてしまう誤り。「失われた量」を問われたら、正しくは「衝突前 − 衝突後」 $= 13.5 - 4.5 = 9.0 J$ と正の値で答えます。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

2 物体の正面衝突

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

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