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仕事・エネルギーと運動量の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理仕事・エネルギーと運動量

なめらかな水平面上の一直線上を、質量 $1.0 kg$ の小球 A と質量 $2.0 kg$ の小球 B が、どちらも右向きに進んでいる。A は B の左側にあり、A の速さは $6.0 m/s$ 、B の速さは $3.0 m/s$ である。やがて A は B に追いついて正面衝突した。A と B のあいだの反発係数（はねかえり係数）は $0.50$ とする。

右向きを正とするとき、衝突直後の B の速度は何 $m/s$ か。有効数字 2 桁で答えよ。ただし、小球の大きさは無視でき、衝突は一直線上で起こるものとする。

6.0 m/s

3.0 m/s

1.0 kg

2.0 kg

この問題で使うもの

2 物体の正面衝突（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（52 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「2 物体の正面衝突」を使います。運動量保存則と反発係数の式の 2 つを立て、衝突後の速度 $v_{1}^{'}$ , $v_{2}^{'}$ を連立方程式で求めます。

ヒント 2

右向きを正として、運動量保存則 $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$ と、反発係数の式 $v_{1}^{'} - v_{2}^{'} = - e (v_{1} - v_{2})$ に数値を代入します。B も右向きに動いているので $v_{2} = + 3.0$ です。

ヒント 3

運動量保存則から $v_{1}^{'} + 2 v_{2}^{'} = 12$ 、反発係数の式から $v_{1}^{'} - v_{2}^{'} = - 1.5$ が得られます。2 式を引き算して $v_{1}^{'}$ を消去しましょう。

答えと解説

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4.5

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解説を読む

右向きを正とし、衝突直後の A, B の速度をそれぞれ $v_{1}^{'}$ , $v_{2}^{'}$ とする（単位は $m/s$ ）。

(1) 運動量保存則

面はなめらかで、水平方向には外力がはたらかない。衝突のとき A と B がおよぼしあう力は作用・反作用で、系の内力である。したがって、A と B を合わせた系の水平方向の運動量は保存する。
$1.0 \times 6.0 + 2.0 \times 3.0 = 1.0 \times v_{1}^{'} + 2.0 \times v_{2}^{'}$
$v_{1}^{'} + 2 v_{2}^{'} = 12 (1)$

(2) 反発係数の式

反発係数の式 $v_{1}^{'} - v_{2}^{'} = - e (v_{1} - v_{2})$ に $e = 0.50$ , $v_{1} = 6.0$ , $v_{2} = 3.0$ を代入すると
$v_{1}^{'} - v_{2}^{'} = - 0.50 \times (6.0 - 3.0) = - 1.5 (2)$

(3) 連立して解く

$(1) - (2)$ より
$3 v_{2}^{'} = 12 - (- 1.5) = 13.5$
$v_{2}^{'} = 4.5$
このとき $(2)$ より $v_{1}^{'} = v_{2}^{'} - 1.5 = 3.0$ である。

$v_{1}^{'} = 3.0 < v_{2}^{'} = 4.5$ なので、衝突後は B が A より速く進み、A が B を通り抜けるような不自然な結果にはなっていない。

よって、衝突直後の B の速度は右向きに $4.5 m/s$ 、つまり $4.5 m/s$ である。

別解

右向きを正とし、衝突直後の A, B の速度を $v_{A}$ , $v_{B}$ とする。

運動量保存則より
$1.0 \times 6.0 + 2.0 \times 3.0 = 1.0 v_{A} + 2.0 v_{B}$
よって $v_{A} + 2 v_{B} = 12$ …①

反発係数の式より
$e = - \frac{v _{A} - v _{B}}{6.0 - 3.0} = 0.50$
よって $v_{A} - v_{B} = - 1.5$ …②

①−②より $3 v_{B} = 13.5$ なので $v_{B} = 4.5$ 。
このとき $v_{A} = 4.5 - 1.5 = 3.0$ 。

検算：運動量は衝突前 $6.0 + 6.0 = 12$ 、衝突後 $3.0 + 2.0 \times 4.5 = 12$ で一致する。相対速度は衝突前 $3.0$ 、衝突後 $v_{B} - v_{A} = 1.5$ で、その比は $0.50$ となり条件を満たす。また $v_{B} > v_{A}$ なので A は B をすり抜けない。運動エネルギーは衝突前 $18 + 9 = 27 J$ 、衝突後 $4.5 + 20.25/1 \cdot$ ではなく $\frac{1}{2} \cdot 1.0 \cdot 3. 0^{2} + \frac{1}{2} \cdot 2.0 \cdot 4. 5^{2} = 4.5 + 20.25 = 24.75 J$ で、減少しており矛盾しない。

答えは $4.5 m/s$ 。

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