反発係数と床との衝突

反発係数 $e = - \frac{v ^{'}}{v}$ の定義を使い、床に垂直に衝突する小球のはね返り直後の速さや、落下・はね上がりの高さから $e = \frac{h ^{'}}{h}$ を求められる

前提

力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

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算数中学高校大学大学院

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力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

説明

小球が床に垂直にぶつかってはね返るとき、はね返り直後の速さが衝突直前の速さの何倍になるかを表す数が反発係数 $e$ です。 $e$ を使うと、衝突直前の速さからはね返り直後の速さを求めたり、落とした高さとはね上がった高さから $e$ を求めたりできます。ボールのバウンドの高さの変化を調べる場面などで使います。

なぜそうしてよいのか

床に垂直な向きに軸をとり、衝突直前の小球の速度を $v$ 、はね返り直後の速度を $v^{'}$ とします。どちらも向きを含めた値（符号つき）です。はね返ると向きが逆になるので $v$ と $v^{'}$ は符号が逆です。そこで、床が静止しているときの反発係数を $e = - \frac{v ^{'}}{v}$ と定めます。マイナスをつけることで $e$ は 0 以上になります。 $e = 1$ なら同じ速さではね返り（弾性衝突）、 $0 \leq e < 1$ なら衝突で速さが減ります。 $e = 0$ なら小球ははね返りません。速さ（大きさ）だけで書けば、はね返り直後の速さは衝突直前の速さの $e$ 倍です。

高さとの関係は力学的エネルギー保存則から導けます。空気抵抗を無視すると、高さ $h$ から静かに落とした小球が床に届く直前の速さ $v$ は $m g h = \frac{1}{2} m v^{2}$ より $v = 2 g h$ です。はね返り直後の速さ $v^{'}$ で上がり、最高点の高さが $h^{'}$ なら、同じように $\frac{1}{2} m v^{'2} = m g h^{'}$ より $v^{'} = 2 g h^{'}$ です。速さの比をとると $e = \frac{2 g h ^{'}}{2 g h} = \frac{h ^{'}}{h}$ となり、 $g$ や $m$ が消えて高さだけで $e$ が決まります。

ただし、力学的エネルギー保存則が使えるのは、落ちている間と上がっている間だけです。 $e < 1$ の衝突では、ぶつかる瞬間に力学的エネルギーの一部が熱や音などに変わるので、衝突の前後をまたいで保存則は使えません。その「衝突の瞬間の変化」を表すのが $e$ です。

手順

床に垂直な軸をとり、正の向きを決める（たとえば鉛直上向きを正）。
衝突の前後を分けて考える。落下中・上昇中は力学的エネルギー保存則を使い、衝突直前の速さ $v = 2 g h$ 、はね返り直後の速さ $v^{'} = 2 g h^{'}$ を求める。
衝突の瞬間には反発係数の式 $e = - \frac{v ^{'}}{v}$ （速さで書けば $∣ v^{'} ∣ = e ∣ v ∣$ ）を使う。
高さが与えられているときは、2 と 3 をまとめた $e = \frac{h ^{'}}{h}$ （または $h^{'} = e^{2} h$ ）を使って求める。

例題

小球を床から高さ $1.6 m$ の位置で静かにはなしたところ、床に垂直に衝突してはね返り、最高で床から $0.90 m$ の高さまで上がった。空気抵抗は無視し、小球の大きさは考えないものとする。小球と床との間の反発係数 $e$ を求めよ。

例題の解答

手順1: 鉛直上向きを正とする。
手順2: 落下中は力学的エネルギー保存則より、重力加速度の大きさを $g$ として衝突直前の速さは $2 g \times 1.6$ 。上昇中も同様に、はね返り直後の速さは $2 g \times 0.90$ 。
手順3: 衝突直前の速度は下向きなので $v = - 2 g \times 1.6$ 、直後は上向きなので $v^{'} = 2 g \times 0.90$ 。よって $e = - \frac{v ^{'}}{v} = \frac{2 g \times 0.90}{2 g \times 1.6}$ 。
手順4: $g$ が約分されて $e = \frac{0.90}{1.6} = \frac{9}{16} = \frac{3}{4}$ となる。よって $e = 0.75$ 。

答え: $\frac{3}{4}$

よくある誤り

高さの比をそのまま $e = \frac{h ^{'}}{h}$ としてしまう誤り。高さは速さの 2 乗に比例するので、正しくは $e = \frac{h ^{'}}{h}$ （例題なら $\frac{0.90}{1.6} = 0.5625$ ではなく $0.5625 = 0.75$ ）。
向きを含めた速度で $e = \frac{v ^{'}}{v}$ とし、 $e$ が負になってしまう誤り。 $v$ と $v^{'}$ は逆向きで符号が逆なので、正しくは $e = - \frac{v ^{'}}{v}$ で、 $0 \leq e \leq 1$ になる。
衝突の前後をまたいで力学的エネルギー保存則を使い、 $h^{'} = h$ としてしまう誤り。 $e < 1$ では衝突の瞬間に力学的エネルギーが減るので、保存則は落下中と上昇中に別々に使い、衝突は $∣ v^{'} ∣ = e ∣ v ∣$ でつなぐ。正しくは $h^{'} = e^{2} h$ 。
2 回目以降のはね上がりの高さを $e$ 倍ずつ減ると考え、 $n$ 回目を $e^{n} h$ としてしまう誤り。1 回の衝突で速さが $e$ 倍、高さは $e^{2}$ 倍になるので、正しくは $n$ 回目の衝突後の最高点の高さは $e^{2 n} h$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

なめらかな床との斜めの衝突（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
2 物体の正面衝突（高校物理仕事・エネルギーと運動量）