なめらかな床との斜めの衝突

なめらかな床に斜めに衝突するとき、床に平行な速度成分は変わらず、垂直な成分だけが $e$ 倍で逆向きになることを使い、はね返った後の速度や次の落下点までの距離を求められる

前提

反発係数と床との衝突（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

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算数中学高校大学大学院

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反発係数と床との衝突（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

説明

小球がなめらかな床に斜めにぶつかったとき、はね返った直後の速さや向きを求められるようになります。速度を「床に平行な成分」と「床に垂直な成分」に分けて考えるのがポイントです。平行な成分はそのまま残り、垂直な成分だけが反発係数 $e$ 倍の大きさで逆向きになります。ボールが床ではずみながら進む運動や、斜めに投げた物体が床ではね返る問題などで使います。

なぜそうしてよいのか

「なめらかな床」とは、摩擦がない床のことです。摩擦力がないので、衝突のあいだに床が小球に及ぼす力は、床に垂直な垂直抗力だけです。床が水平なら、重力も床に垂直な向きです。つまり、床に平行な向きには小球に力がまったくはたらきません。運動方程式 $ma = F$ で、平行な向きの力 $F$ が $0$ なので、その向きの加速度も $0$ です。したがって、床に平行な速度成分は衝突の前後で変わりません（慣性の法則と同じ考え方です）。

一方、床に垂直な向きには、垂直抗力が短い時間に大きくはたらきます。この向きだけを見ると、床に垂直にぶつかってはね返る運動とまったく同じです。反発係数は、床に垂直な速度成分について $e = - \frac{v _{y}^{'}}{v _{y}}$ と定義されます。よって垂直な成分は $v_{y}^{'} = - e v_{y}$ 、つまり大きさが $e$ 倍になり、向きが逆になります。

この 2 つを組み合わせると、はね返った後の速度が決まります。 $e = 1$ （弾性衝突）のときだけ、入ってきた角度とはね返る角度が等しくなります。 $0 \leq e < 1$ なら垂直成分が小さくなるので、はね返った後の速度は、入ってきたときより床に近い向き（寝た向き）になります。

手順

床に平行な向き（ $x$ 方向）と床に垂直な向き（ $y$ 方向）に軸をとる。
衝突直前の速度を成分に分ける。速さ $v$ 、床となす角 $θ$ なら、平行成分 $v cos θ$ 、垂直成分の大きさ $v sin θ$ 。
平行成分はそのまま残す： $v_{x}^{'} = v cos θ$ 。
垂直成分は $e$ 倍にして向きを逆にする：はね返り直後の垂直成分の大きさは $e v sin θ$ （床から離れる向き）。
2 つの成分を合成する。速さは $v^{'} = (v cos θ)^{2} + (e v sin θ)^{2}$ 、床となす角 $θ^{'}$ は $tan θ^{'} = \frac{e v s i n θ}{v c o s θ} = e tan θ$ で求める。

例題

水平でなめらかな床に、小球が速さ $v_{0}$ で、床と $6 0^{\circ}$ の角をなす向きに衝突した。小球と床との反発係数を $\frac{1}{3}$ とする。衝突中に床が小球に及ぼす力は床に垂直な垂直抗力だけとする。はね返った直後の小球の速さを $v_{0}$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順1：床に平行な向きを $x$ 方向、床に垂直な向きを $y$ 方向とする。

手順2：衝突直前の速度を成分に分ける。平行成分は $v_{0} cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} v_{0}$ 、垂直成分の大きさは $v_{0} sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2} v_{0}$ である。

手順3：床はなめらかなので、平行成分は変わらない。はね返り直後の平行成分は $\frac{1}{2} v_{0}$ である。

手順4：垂直成分は $\frac{1}{3}$ 倍になり、向きが上向きに変わる。大きさは $\frac{1}{3} \times \frac{3}{2} v_{0} = \frac{3}{6} v_{0}$ である。

手順5：2 つの成分を合成する。
$v^{'} = (\frac{1}{2} v_{0})^{2} + (\frac{3}{6} v_{0})^{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} v_{0} = \frac{1}{3} v_{0} = \frac{3}{3} v_{0}$
（参考：床となす角 $θ^{'}$ は $tan θ^{'} = \frac{1}{3} tan 6 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ より $3 0^{\circ}$ です。入ってきたときの $6 0^{\circ}$ より寝た向きにはね返ります。）

答え： $\frac{3}{3} v_{0}$

答え: $\frac{3}{3} v_{0}$

よくある誤り

速さ全体に $e$ を掛けて $v^{'} = e v_{0}$ としてしまう誤り。正しくは、 $e$ を掛けるのは床に垂直な成分だけです。上の例なら $v^{'} = \frac{1}{3} v_{0}$ ではなく、 $v^{'} = (\frac{1}{2} v_{0})^{2} + (\frac{3}{6} v_{0})^{2} = \frac{3}{3} v_{0}$ です。
床に平行な成分にも $e$ を掛けてしまう誤り。正しくは、なめらかな床では平行な向きに力がはたらかないので、平行成分は $v_{x}^{'} = v_{x}$ のまま変わりません。
角度の基準を取り違えて $sin$ と $cos$ を逆にしてしまう誤り。床となす角が $θ$ なら、平行成分は $v cos θ$ 、垂直成分は $v sin θ$ です。角度が床に垂直な線（鉛直線）から測られているときは、平行成分が $v sin θ$ 、垂直成分が $v cos θ$ と入れ替わります。
$e < 1$ なのに「入射角と反射角は等しい」として、同じ角度ではね返るとしてしまう誤り。正しくは $tan θ^{'} = e tan θ$ です。角度が等しくなるのは $e = 1$ のときだけで、 $e < 1$ なら床に近い向きにはね返ります。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

なめらかな床との斜めの衝突

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