仕事・エネルギーと運動量の問題

重力加速度の大きさを $g=9.8{\text{m/s}}^2$、はなした高さを $h_0=2.0\text{m}$、はね返ったあとの最高点の高さを $h_1=1.28\text{m}$ とする。

反発係数を求める

空気抵抗を無視するので、落下中も上昇中も小球にはたらく力は重力だけで、力学的エネルギーが保存する。衝突直前の速さを $v_0$、衝突直後の速さを $v_1$ とすると
$$v_0=\sqrt{2g{h}_0},v_1=\sqrt{2g{h}_1}$$
床は静止しているので、反発係数 $e$ は
$$e=\frac{v_1}{v_0}=\sqrt{\frac{h_1}{h_0}}=\sqrt{\frac{1.28}{2.0}}=\sqrt{0.64}=0.80$$

時間を求める

はなしてから 1 回目の衝突までの時間を $t_0$ とすると、$h_0=\frac{1}{2}g{t}_0^2$ より
$$t_0=\sqrt{\frac{2h_0}{g}}=\sqrt{\frac{2\times 2.0}{9.8}}=\sqrt{0.408\cdots }\fallingdotseq 0.639\text{s}$$
また $v_0=g{t}_0$ である。

1 回目の衝突直後、小球は上向きに速さ $v_1=e{v}_0$ で鉛直投げ上げの運動をする。床に戻るまでの時間 $t_1$ は、上向きを正として $0=v_1{t}_1-\frac{1}{2}g{t}_1^2$ より
$$t_1=\frac{2v_1}{g}=\frac{2e{v}_0}{g}=2e{t}_0$$
よって、求める時間は
$$t_0+t_1=(1+2e)t_0=(1+2\times 0.80)\times 0.639=2.6\times 0.639\fallingdotseq 1.66\text{s}$$
有効数字 2 桁で $1.7\text{s}$ である。

落下距離 $h_0=2.0\text{m}$ を自由落下する時間を $t_1$ とすると、$h_0=\frac{1}{2}g{t}_1^2$ より $t_1=\sqrt{\frac{2h_0}{g}}=\sqrt{\frac{2\times 2.0}{9.8}}\approx 0.6389\text{s}$。衝突直前の速さは $v_1=g{t}_1$。

1 回目の衝突後の上昇の最高点の高さを $h_1=1.28\text{m}$、衝突直後の速さを $v_1^{\prime }$ とすると、$v_1^{\prime 2}=2g{h}_1$、$v_1^2=2g{h}_0$ なので、反発係数は $e=\frac{v_1^{\prime }}{v_1}=\sqrt{\frac{h_1}{h_0}}=\sqrt{\frac{1.28}{2.0}}=\sqrt{0.64}=0.80$。

1 回目の衝突後、上昇して再び床に戻るまでの時間は $\frac{2v_1^{\prime }}{g}=\frac{2e{v}_1}{g}=2e{t}_1=2\times 0.80\times 0.6389\approx 1.0222\text{s}$。戻ったときの速さは $v_1^{\prime }$ で、これが 2 回目の衝突である。

よって求める時間は $t_1+2e{t}_1=(1+2e)t_1=2.6\times 0.6389\approx 1.661\text{s}$。有効数字 2 桁で $1.7\text{s}$。

検算: $0.6389+1.0222=1.6611$ で一致する。