内力・外力と運動量保存の法則

物体系の内力と外力を区別し、内力の力積の和が 0 になることから、外力の力積の和が 0 のとき運動量の和が保存されると判定できる（例: 押しあうスケーター、ばねではじき合う台車）

前提

運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））
運動量保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

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算数中学高校大学大学院

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運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））
作用反作用の法則とつり合う 2 力の区別（高校物理力と運動（知識））
運動量保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

説明

この技能を使うと、いくつかの物体をまとめた「物体系」について、運動量の和が保存されるかどうかを判定できます。そのために、系の中の物体どうしが及ぼしあう力（内力）と、系の外から受ける力（外力）を区別します。押しあうスケーター、ばねではじき合う台車、分裂する物体などで、運動量保存則を使ってよいかどうかを判断するときに使います。

なぜそうしてよいのか

物体 A と B をまとめて 1 つの物体系と考えます。B が A に及ぼす力を $F_{BA}$ 、A が B に及ぼす力を $F_{AB}$ とします。このように系の中の物体どうしが及ぼしあう力を内力といいます。一方、重力・床からの垂直抗力・摩擦力のように系の外から受ける力を外力といい、A、B が受ける外力の合力をそれぞれ $f_{A}$ 、 $f_{B}$ とします。作用反作用の法則により、内力は同じ瞬間に $F_{AB} = - F_{BA}$ となり、はたらく時間 $Δ t$ も共通です。

短い時間 $Δ t$ の間、それぞれの力が一定とみなせるとして、運動量の変化が力積に等しいことを A、B のそれぞれに使います。 $m_{A} v_{A}^{'} - m_{A} v_{A} = (F_{BA} + f_{A}) Δ t, m_{B} v_{B}^{'} - m_{B} v_{B} = (F_{AB} + f_{B}) Δ t$ 2 式を足すと内力の力積は $F_{BA} Δ t + F_{AB} Δ t = 0$ となって打ち消しあい、 $(運動量の和の変化) = (f_{A} + f_{B}) Δ t$ が残ります。力が時間とともに変わる場合も、各瞬間ごとに内力は打ち消しあうので、この結果は変わりません。つまり、系全体の運動量の和を変えられるのは外力の力積だけです。

したがって、外力の力積の和が $0$ であれば（または無視できれば）、運動量の和は保存されます。これは各物体の運動量が変わらないという意味ではありません。内力によって A と B の運動量はそれぞれ変化しますが、その変化は $Δ p_{A} = - Δ p_{B}$ となって和では打ち消しあいます。また、外力が鉛直方向にしかはたらかないときは、水平方向の外力の力積が 0 なので、水平成分だけについて運動量の和が保存されます。

手順

どの物体をまとめて「物体系」とするかを決める（例: スケーター A と B の 2 人）。
各物体にはたらく力をすべて書き出す。力を及ぼしている相手が系の中なら内力、系の外（地球・床・壁など）なら外力に分類する。
内力は作用反作用の法則より $F_{AB} = - F_{BA}$ なので、力積の和は $0$ になる。運動量の和を考えるときは内力を無視してよい。
外力の合力が $0$ か（重力と垂直抗力がつり合う、摩擦が無視できる、など）、または外力の力積が無視できるほど小さいかを調べる。全体で 0 でなくても、水平方向など特定の向きの成分が 0 になっていないかも確かめる。
外力の力積の和が 0 なら（その向きについて）運動量の和は保存されると判定し、 $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$ を使う。

例題

物体系の運動量について述べた次の文ア〜エのうち、正しいものを 1 つ選べ。
ア　氷の上で 2 人のスケーターが押しあうとき、2 人を 1 つの物体系とすると、互いに押しあう力は外力なので、2 人の運動量の和は保存されない。
イ　なめらかな水平面上で、軽いばねをはさんだ 2 台の台車がはじき合うとき、2 台とばねを 1 つの物体系とすると、ばねが台車を押す力は内力であり、各台車にはたらく重力と垂直抗力はつり合うので、2 台の運動量の和は保存される。
ウ　物体系の中で内力がはたらくと、物体系全体の運動量の和は必ず変化する。
エ　物体系に外力がはたらかないとき、物体系の中の各物体の運動量は、それぞれ一定に保たれる。

例題の解答

手順 1・2（系を決め、力を分類する）: アでは 2 人を系としているので、互いに押しあう力は系の中の物体どうしの力であり、外力ではなく内力である。よってアは誤り。
手順 2〜4（イの判定）: 2 台とばねを系とすると、ばねが台車を押す力は系の中の力なので内力である。ばねは軽いので、両側の台車を押す力は大きさが等しく向きが逆になり、力積の和は 0 になる。外力は各台車の重力と面からの垂直抗力で、これらは鉛直方向につり合っている。面はなめらかなので摩擦力もない。したがって外力の合力は $0$ で、外力の力積の和も 0 である。
手順 5: 外力の力積の和が 0 なので、2 台の運動量の和は保存される。よってイは正しい。
手順 3（ウの判定）: 内力の力積の和は作用反作用の法則によって常に 0 なので、内力だけでは運動量の和は変化しない。よってウは誤り。
エの判定: 保存されるのは運動量の「和」である。内力によって各物体の運動量は $Δ p_{A} = - Δ p_{B}$ のように変化しうるので、それぞれが一定に保たれるとは限らない。よってエは誤り。
以上より、正しいものはイである。

答え:

イ

よくある誤り

系の中の物体どうしが及ぼしあう力を外力として数え、「力がはたらいているから運動量の和は保存されない」としてしまう誤り。正しくは、相手が系の中にいる力は内力であり、 $F_{AB} Δ t + F_{BA} Δ t = 0$ なので運動量の和を変えない。
運動量の和が保存されるとき、各物体の運動量もそれぞれ変わらないとしてしまう誤り。正しくは、変わらないのは和 $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}$ だけであり、各物体の運動量は $Δ p_{1} = - Δ p_{2}$ を満たしながら変化してよい（例: 静止していた 2 台がはじき合うと、それぞれ逆向きに動き出す）。
重力がはたらいているので、運動量の和は必ず保存されないとしてしまう誤り。正しくは、水平面上では重力と垂直抗力がつり合い、外力の合力が $0$ になるので保存される。外力が鉛直方向にしかはたらかない場合でも、水平方向の外力の力積は 0 なので、水平成分 $m_{1} v_{1 x} + m_{2} v_{2 x}$ は保存される。
系の取り方を決めずに内力・外力を判断してしまう誤り。正しくは、同じ力でも系の取り方によって分類が変わる。スケーター A だけを系とすると、B が A を押す力は外力になり、A の運動量は保存されない。A と B の 2 人を系とすると、この力は内力になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
水平でなめらかな（摩擦の無視できる）氷の上に、質量の異なる 2 人のスケーター A, B が向かい合って静止している。2 人は両手で互いに水平に押し合い、その後、互いに逆向きに一直線上をすべって離れていった。空気抵抗は無視し、A と B の 2 人をまとめて 1 つの物体系として考える。
このことについて述べた文として正しいものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。
- ア　A が B を押す力と、B が A を押す力は、この物体系にとって外力である。
- イ　押し合っている間に A が B から受けた力積と、B が A から受けた力積は、大きさが等しく向きが逆なので、その和は 0 である。
- ウ　押し合ったあとの A と B の運動量の和は、2 人が押し合う力が大きいほど大きくなり、0 にはならない。
- エ　押し合ったあとの A と B の速さは、2 人の質量に関係なく、つねに等しくなる。
- オ　A と B にはたらく重力と、氷の面から受ける垂直抗力は、この物体系にとって内力である。

この技能を使う問題

	a	b
ア	仕事	内力
イ	力積	内力
ウ	力学的エネルギー	外力
エ	力積	外力
オ	仕事	外力
カ	力学的エネルギー	内力

	a	b	c
ア	力積	外力	内力
イ	仕事	内力	外力
ウ	力積	外力	外力
エ	仕事	外力	内力
オ	力積	内力	内力
カ	力積	内力	外力

難易度 4（国公立二次の標準レベル）

次の文章中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして最も適当なものを、下の表のア〜カのうちから 1 つ選べ。ただし、空気抵抗は無視する。

なめらかな水平面上に、なめらかな斜面をもつ台が静止して置かれている。台の斜面上に小物体を置いて静かにはなすと、小物体は斜面から離れることなく斜面に沿ってすべり下り、それと同時に台は水平面上をすべって動き始めた。

小物体と台をまとめて 1 つの物体系とみなす。小物体が斜面をすべり下りている間、小物体と台が斜面を通して互いに及ぼし合う垂直抗力は、この物体系にとって（ a ）である。小物体をはなしてから小物体が斜面の下端に達するまでの間、この物体系の運動量の和については、（ b ）。

	a	b
ア	内力	水平方向の成分も鉛直方向の成分も保存される
イ	外力	水平方向の成分も鉛直方向の成分も保存される
ウ	内力	鉛直方向の成分だけが保存される
エ	外力	鉛直方向の成分だけが保存される
オ	内力	水平方向の成分だけが保存される
カ	外力	水平方向の成分だけが保存される

難易度 4（国公立二次の標準レベル）
天井から鉛直につるした軽くて伸びない糸の下端に、木片が静止している。この木片に、弾丸を水平に打ち込んだところ、弾丸は木片の中で止まり、その後、弾丸と木片は一体となって糸がたるまないまま鉛直面内で振れ上がった。弾丸が木片に入ってから木片の中で止まるまでの時間はきわめて短く、その間に木片はほとんど動かない（糸は鉛直のままとみなせる）ものとする。空気抵抗は無視し、弾丸と木片は質点とみなせるものとする。
この現象について述べた文として最も適当なものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。
- ア　弾丸が木片に入ってから木片の中で止まるまでの間、弾丸と木片の運動量の和の水平成分は保存される。
- イ　弾丸が木片に入ってから木片の中で止まるまでの間に、弾丸が木片から受ける力積と木片が弾丸から受ける力積は、大きさが等しく同じ向きである。
- ウ　弾丸が木片に入ってから木片の中で止まるまでの間、弾丸と木片の運動エネルギーの和は保存される。
- エ　弾丸と木片が一体となって振れ上がっていく間も、弾丸と木片の運動量の和の水平成分は保存される。
- オ　弾丸が木片に入ってから木片の中で止まるまでの間の弾丸の運動量の変化は、その間に弾丸が木片から受けた力がした仕事に等しい。

この技能の次に学べること

反発係数と衝突の種類（高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））
光子の運動量とコンプトン効果（高校物理原子（知識））