反発係数と衝突の種類

反発係数 $e$ を近づく速さに対する遠ざかる速さの比として説明でき、 $0 \leq e \leq 1$ の値で弾性衝突・非弾性衝突・完全非弾性衝突を区別し、それぞれで運動量の和は保存され、運動エネルギーの和が保存されるか減少するかを判定できる

前提

内力・外力と運動量保存の法則（高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））

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算数中学高校大学大学院

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説明

2つの物体がぶつかったあとの「はね返りの強さ」を、反発係数 $e$ という1つの数で表します。 $e$ の値（ $0 \leq e \leq 1$ ）によって、衝突を弾性衝突・非弾性衝突・完全非弾性衝突に分けます。どの衝突でも運動量の和は保存されます。一方、運動エネルギーの和は弾性衝突のときだけ保存され、それ以外では減少します。教科書の法則を問う正誤問題で、衝突の種類と保存則の対応を判断するときに使います。

なぜそうしてよいのか

なめらかな水平面上で、2球が一直線上を動いて衝突する場合を考えます。正の向きを決め、球1が負の側、球2が正の側にあるとします。衝突前の速度を $v_{1}, v_{2}$ （近づくので $v_{1} > v_{2}$ ）、衝突後の速度を $v_{1}^{'}, v_{2}^{'}$ とします。衝突前の「近づく速さ」は $v_{1} - v_{2}$ 、衝突後の「遠ざかる速さ」は $v_{2}^{'} - v_{1}^{'}$ です。その比 $e = \frac{v _{2}^{'} - v _{1}^{'}}{v _{1} - v _{2}} = - \frac{v _{1}^{'} - v _{2}^{'}}{v _{1} - v _{2}}$ を反発係数といいます。2球は衝突後にすり抜けられないので $v_{2}^{'} \geq v_{1}^{'}$ 、つまり $e \geq 0$ です。床のような動かない物体との衝突では、衝突直前の速さ $v$ と直後の速さ $v^{'}$ の比 $e = \frac{v ^{'}}{v}$ になります。

衝突中に2球が及ぼしあう力は内力で、作用反作用により力積の和は0です。重力と垂直抗力はつり合っているので、外力の力積の和も0です。したがって $e$ の値に関係なく運動量の和は保存され、 $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$ が成り立ちます。ここで球1が球2に与える力積を $P = m_{2} (v_{2}^{'} - v_{2})$ とおくと、 $m_{1} (v_{1}^{'} - v_{1}) = - P$ です。球2は球1から正の向きに押されるので $P > 0$ です。

運動エネルギーの和の変化 $Δ K$ を計算します。 $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ を使うと $Δ K = \frac{1}{2} m_{1} (v_{1}^{'} - v_{1}) (v_{1}^{'} + v_{1}) + \frac{1}{2} m_{2} (v_{2}^{'} - v_{2}) (v_{2}^{'} + v_{2}) = \frac{1}{2} P {(v_{2}^{'} - v_{1}^{'}) - (v_{1} - v_{2})}$ となります。これに $v_{2}^{'} - v_{1}^{'} = e (v_{1} - v_{2})$ を代入すると $Δ K = - \frac{1}{2} P (1 - e) (v_{1} - v_{2})$ です。 $P > 0$ 、 $v_{1} - v_{2} > 0$ なので、 $e = 1$ のとき $Δ K = 0$ （保存）、 $e < 1$ のとき $Δ K < 0$ （減少）とわかります。失われた運動エネルギーは、変形・熱・音などに変わります。また $e > 1$ だと運動エネルギーが増えてしまい、外からエネルギーを与えない限り起こりません。そのため $0 \leq e \leq 1$ になります。

手順

一直線上で正の向きを決め、衝突前後の速度を符号つきで $v_{1}, v_{2}, v_{1}^{'}, v_{2}^{'}$ と表す
反発係数を求める： $e = - \frac{v _{1}^{'} - v _{2}^{'}}{v _{1} - v _{2}}$ （遠ざかる速さ÷近づく速さ。動かない床なら $e = \frac{v ^{'}}{v}$ ）
$e$ の値で衝突を分類する： $e = 1$ は弾性衝突、 $0 < e < 1$ は非弾性衝突、 $e = 0$ は完全非弾性衝突（衝突後に一体となり同じ速度で動く）。 $0 \leq e < 1$ をまとめて非弾性衝突とよぶこともある
運動量を判定する：2物体の系に外力の力積がはたらかなければ、どの $e$ でも $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$
運動エネルギーの和を判定する： $e = 1$ なら保存、 $e < 1$ なら減少（減った分は熱・音・変形などになる）

例題

なめらかな水平面上で、2つの小球が一直線上を運動して衝突する。衝突について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから1つ選べ。
ア　反発係数が1の衝突では、運動量の和は保存されるが、運動エネルギーの和は減少する。
イ　反発係数が0の衝突では、衝突後に2球は一体となって同じ速度で運動し、運動エネルギーの和は減少する。
ウ　非弾性衝突では運動エネルギーの和が減少するので、運動量の和も減少する。
エ　反発係数は遠ざかる速さを近づく速さで割った値であり、激しく衝突すると1より大きくなることがある。

例題の解答

手順2：反発係数は「遠ざかる速さ÷近づく速さ」です。運動エネルギーが増えることはないので、 $0 \leq e \leq 1$ になります。1より大きくなることはないので、エは誤りです。
手順3： $e = 0$ のとき遠ざかる速さは0なので、 $v_{1}^{'} = v_{2}^{'}$ となります。つまり2球は一体となって同じ速度で動きます（完全非弾性衝突）。
手順4：衝突の力は内力で、水平方向に外力ははたらきません。そのため、どの $e$ でも運動量の和は保存されます。ウは「運動量の和も減少する」としているので誤りです。
手順5： $e = 1$ （弾性衝突）では運動エネルギーの和が保存されるので、アは誤りです。 $e = 0$ は $e < 1$ なので運動エネルギーの和は減少し、イの記述と合います。
よって正しいものはイです。

答え:

イ

よくある誤り

運動エネルギーが減ると運動量も減ると考えてしまう誤り。正しくは、外力の力積がなければ $e$ の値によらず $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$ が成り立つ。減少しうるのは運動エネルギーの和だけである。
速度の比を符号のまま $e = \frac{v _{1}^{'} - v _{2}^{'}}{v _{1} - v _{2}}$ として、負の値を出してしまう誤り。正しくは、衝突前後で相対速度の向きが逆になるので $e = - \frac{v _{1}^{'} - v _{2}^{'}}{v _{1} - v _{2}}$ と負号をつけ、 $0 \leq e \leq 1$ になる。
完全非弾性衝突（ $e = 0$ ）では運動エネルギーが0になると考えてしまう誤り。正しくは、2球は一体となって速度 $\frac{m _{1} v _{1} + m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}}$ で動く。運動エネルギーは減少するが、0になるとは限らない。
床との衝突でも小球の運動量が保存されると考えてしまう誤り。正しくは、床から受ける力は小球にとって外力である。速さ $v$ で当たって $v^{'} = e v$ ではね返るとき、小球の運動量は保存されない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
なめらかな水平面上で、一直線上を運動する 2 つの小球 A, B が正面衝突した。衝突後、A と B はたがいに遠ざかり、その遠ざかる速さ（相対速度の大きさ）は、衝突前に A と B がたがいに近づく速さ（相対速度の大きさ）と等しかった。小球は質点とみなせ、衝突の間、2 球には水平方向の外力ははたらかないものとする。
この衝突について述べた文として正しいものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。
- ア　衝突の前後で、A と B の運動量の和は保存されるが、運動エネルギーの和は減少する。
- イ　衝突の前後で、A と B の運動量の和も運動エネルギーの和も保存される。
- ウ　この衝突は、完全非弾性衝突である。
- エ　この衝突での A と B の間の反発係数（はねかえり係数）は $0$ である。
- オ　衝突の前後で、A と B の運動エネルギーの和は保存されるが、運動量の和は保存されない。

反発係数と衝突の種類

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題