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仕事・エネルギーと運動量（知識）の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識）

なめらかな水平面上を等速直線運動している小球が、水平面に垂直に立てて固定したなめらかな壁に、斜めに（速度の向きが壁の面に垂直でも平行でもない向きで）衝突してはね返った。小球と壁の間の反発係数（はねかえり係数）を $e$ とする。小球は質点とみなせるものとし、空気抵抗は無視する。また、小球の運動はつねに水平面上で起こるものとする。

この衝突について述べた文として正しいものを、次のア〜カのうちからすべて選べ。

ア　衝突の前後で、小球の速度の壁の面に平行な成分は変わらない。
イ　反発係数 $e$ は、小球の速度の壁の面に垂直な成分の大きさについて、衝突後の値を衝突前の値で割ったものに等しい。
ウ　 $0 < e < 1$ のとき、はね返った後の速度の向きと壁の面とのなす角は、衝突前の速度の向きと壁の面とのなす角より小さい。
エ　 $0 < e < 1$ のとき、衝突の前後で小球の運動エネルギーは変わらない。
オ　 $e = 1$ のとき、小球が壁から受ける力積の向きは、壁の面に平行である。
カ　 $e = 0$ のとき、衝突後の小球の速さは $0$ になる。

この問題で使うもの

反発係数と衝突の種類（説明と入口の問題）
運動量と力積（説明と入口の問題）
運動エネルギーと仕事の関係（説明と入口の問題）
三角比の定義と値（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

速度を壁の面に垂直な成分と平行な成分に分け、なめらかな壁から受ける力（力積）の向きと、反発係数の定義を考えよう。

ヒント 2

なめらかな壁から受ける力は壁の面に垂直なので、平行成分は変わらない。垂直成分は、衝突後に大きさが $e$ 倍になって向きが逆になる。

ヒント 3

運動エネルギーは $\frac{1}{2} m (v_{⊥}^{2} + v_{∥}^{2})$ と書ける。衝突後の各成分を代入して、 $e$ の値ごとに運動エネルギー・速さ・はね返る角度を比べると、エ・オ・カの正誤がわかる。

答えと解説

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ア, イ, ウ

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解説を読む

小球の速度を、壁の面に垂直な成分と平行な成分に分けて考える。衝突前の垂直成分の大きさを $v_{⊥}$ 、平行成分の大きさを $v_{∥}$ とする。

壁はなめらかなので、衝突の間に小球が壁から受ける力は壁の面に垂直な向き（垂直抗力）だけである。したがって、小球が受ける力積も壁の面に垂直で、運動量の平行成分は変わらない。垂直成分については、反発係数の定義から、衝突後の大きさは $e v_{⊥}$ で、向きは逆になる。

ア（正しい）：壁がなめらかなので、壁の面に平行な向きには力がはたらかず、その向きの力積は $0$ である。運動量の変化は力積に等しいので、平行成分は $v_{∥}$ のまま変わらない。
イ（正しい）：壁が静止している場合、反発係数は、衝突の向き（壁の面に垂直な向き）の速度成分について、衝突後の大きさと衝突前の大きさの比 $e = \frac{e v _{⊥}}{v _{⊥}}$ である。
ウ（正しい）：速度の向きと壁の面とのなす角を $θ$ とすると $tan θ = \frac{( 垂直成分 )}{( 平行成分 )}$ である。衝突前は $tan θ = \frac{v _{⊥}}{v _{∥}}$ 、衝突後は $tan θ^{'} = \frac{e v _{⊥}}{v _{∥}}$ であり、 $0 < e < 1$ なので $tan θ^{'} < tan θ$ 、すなわち $θ^{'} < θ$ となる。
エ（誤り）：運動エネルギーは $\frac{1}{2} m (v_{⊥}^{2} + v_{∥}^{2})$ から $\frac{1}{2} m (e^{2} v_{⊥}^{2} + v_{∥}^{2})$ に変わる（ $m$ は小球の質量）。 $0 < e < 1$ では $e^{2} v_{⊥}^{2} < v_{⊥}^{2}$ なので、運動エネルギーは減少する（非弾性衝突）。「変わらない」が誤り。運動エネルギーが変わらないのは $e = 1$ （弾性衝突）のときである。
オ（誤り）： $e$ の値によらず、なめらかな壁から受ける力は壁の面に垂直なので、力積の向きも壁の面に垂直（壁から離れる向き）である。「平行」が誤り。
カ（誤り）： $e = 0$ （完全非弾性衝突）のときは垂直成分が $0$ になるが、平行成分 $v_{∥}$ は変わらない。斜めに衝突しているので $v_{∥} \neq = 0$ であり、小球は壁に沿って速さ $v_{∥}$ で運動する。「速さは $0$ 」が誤り。

よって正しいものはア、イ、ウである。

別解

壁の面に平行な方向を $x$ 、垂直な方向を $y$ とし、衝突前の速度成分を $(v_{x}, v_{y})$ 、衝突後を $(v_{x}^{'}, v_{y}^{'})$ とする。壁はなめらかなので、壁から受ける力は面に垂直で、 $x$ 成分の力はない。

ア: 面に平行な方向には力積がないので $v_{x}^{'} = v_{x}$ 。正しい。

イ: 反発係数の定義は $e = - \frac{v _{y}^{'}}{v _{y}}$ で、垂直成分の大きさについて $e = \frac{∣ v _{y}^{'} ∣}{∣ v _{y} ∣}$ （衝突後を衝突前で割る）。正しい。

ウ: 壁の面となす角を $θ$ とすると $tan θ = \frac{∣ v _{y} ∣}{∣ v _{x} ∣}$ 。衝突後は $∣ v_{y}^{'} ∣ = e ∣ v_{y} ∣ < ∣ v_{y} ∣$ 、 $∣ v_{x}^{'} ∣ = ∣ v_{x} ∣$ なので $tan θ^{'} = e tan θ < tan θ$ 。角は小さくなる。正しい。

エ: 運動エネルギーは $\frac{1}{2} m (v_{x}^{2} + e^{2} v_{y}^{2})$ となり、 $0 < e < 1$ では $v_{y} \neq = 0$ なので減少する。誤り。

オ: 力積は壁の面に垂直な向き（なめらかな壁）。平行ではない。誤り。

カ: $e = 0$ では垂直成分は 0 になるが、平行成分 $v_{x} \neq = 0$ が残る（斜め衝突）ので、速さは 0 にならない。誤り。

よって正しいのはア, イ, ウ。検算: $v_{x} = 3, v_{y} = 4, e = 0.5$ とすると、衝突後 $(3, 2)$ 。平行成分は不変、 $tan θ$ は $4/3$ から $2/3$ に減少、エネルギーは $25$ から $13$ に減少。

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