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仕事・エネルギーと運動量（知識）の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識）

上端を天井に固定して鉛直につるした軽いばねの下端に物体をとりつけ、ばねが自然の長さになる位置で物体を手で支えて静止させた。次に、物体を手で支えたまま鉛直下向きにゆっくりと下げていき、ばねの弾性力と重力がつり合う位置で物体を静止させた。物体が下がり始めてからつり合いの位置で静止するまでの間について述べた文として最も適当なものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。ただし、空気抵抗は無視し、物体は質点とみなせるものとし、手は物体に鉛直上向きの力だけを加えるものとする。

ア　物体の重力による位置エネルギーの減少量は、ばねの弾性力による位置エネルギーの増加量に等しい。
イ　手は物体を支えながら一緒に下がったので、手が物体に加えた力がした仕事は正である。
ウ　ばねは物体を引く向きに力をはたらかせ続けたので、ばねの弾性力が物体にした仕事は正である。
エ　物体の重力による位置エネルギーの減少量は、ばねの弾性力による位置エネルギーの増加量より大きく、その差は手が物体にした仕事の大きさに等しい。
オ　物体にはたらくすべての力がした仕事の和は、物体の重力による位置エネルギーの減少量に等しい。

この問題で使うもの

仕事の定義と正・負・0（説明と入口の問題）
運動エネルギーと仕事の関係（説明と入口の問題）
重力・弾性力による位置エネルギー（説明と入口の問題）
力学的エネルギーが保存される条件（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（52 技能）

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ヒント

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ヒント 1

「運動エネルギーの変化 = すべての力がした仕事の和」と、「保存力がする仕事 = その力による位置エネルギーの減少量」の 2 つの関係を使おう。

ヒント 2

物体ははじめも終わりも静止しているので、運動エネルギーの変化は 0 である。手の力・弾性力・重力のそれぞれについて、力の向きと移動の向きの関係から仕事の正負を判断しよう。

ヒント 3

手の力と弾性力はどちらも上向きで、物体は下向きに動くことから、イ・ウ・オは除ける。残りは、重力による位置エネルギーの減少量と弾性力による位置エネルギーの増加量の大小関係を、手がした仕事の符号から判断しよう。

答えと解説

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エ

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解説を読む

使う関係は次の 2 つである。

物体の運動エネルギーの変化は、その間に物体にはたらくすべての力がした仕事の和に等しい。
保存力（重力・弾性力）がする仕事は、その力による位置エネルギーの減少量に等しい（位置エネルギーが増加するときは、仕事は負で、大きさは増加量に等しい）。

物体にはたらく力は、重力（鉛直下向き）、ばねの弾性力（ばねは伸びているので鉛直上向き）、手が加える力（鉛直上向き）の 3 つである。物体ははじめも終わりも静止しているので、運動エネルギーの変化は $0$ であり、
$W_{重力} + W_{弾性力} + W_{手} = 0$
が成り立つ。ここで、重力による位置エネルギーの減少量を $Δ U_{g}$ 、弾性力による位置エネルギーの増加量を $Δ U_{s}$ とすると、 $W_{重力} = Δ U_{g}$ 、 $W_{弾性力} = - Δ U_{s}$ なので
$Δ U_{g} - Δ U_{s} = - W_{手}$
となる。手の力は上向き、移動は下向きなので $W_{手} < 0$ であり、右辺は手がした仕事の大きさ（正の値）である。

ア　誤り。手がした仕事は $0$ ではない（負である）ので、 $Δ U_{g}$ と $Δ U_{s}$ は等しくない。手がなく力学的エネルギーが保存される場合とは異なる。
イ　誤り。手の力は鉛直上向き、物体の移動は鉛直下向きで、力と移動の向きが逆なので、手がした仕事は負である。
ウ　誤り。ばねは伸びていて物体を鉛直上向きに引くが、物体は下向きに移動するので、弾性力がした仕事は負である（その分、弾性力による位置エネルギーが増加する）。
エ　正しい。上の式より $Δ U_{g} - Δ U_{s} = - W_{手} > 0$ であり、差は手がした仕事の大きさに等しい。
オ　誤り。運動エネルギーの変化が $0$ なので、すべての力がした仕事の和は $0$ である。重力による位置エネルギーの減少量（ $> 0$ ）とは等しくない。

よって、最も適当なものはエである。

別解

物体の質量を $m$ 、ばね定数を $k$ 、重力加速度の大きさを $g$ 、つり合いの位置でのばねの伸びを $x$ とする。つり合いより $k x = m g$ なので $x = m g / k$ 。重力がした仕事は $m g x$ (位置エネルギーの減少量)。弾性力による位置エネルギーの増加量は $\frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} m g x$ 。ゆっくり下げて静止させるので運動エネルギーの変化は $0$ 。したがってすべての力がした仕事の和は $0$ で、手がした仕事を $W_{手}$ とすると $W_{手} + m g x - \frac{1}{2} k x^{2} = 0$ 、すなわち $W_{手} = - \frac{1}{2} m g x$ 。選択肢の確認: ア: 重力による位置エネルギーの減少量は $m g x$ 、弾性力による位置エネルギーの増加量は $\frac{1}{2} m g x$ で、等しくない(前者は後者の 2 倍)。誤り。イ: 手の力は上向き、物体の変位は下向きなので、手がした仕事は負( $- \frac{1}{2} m g x$ )。誤り。ウ: ばねの弾性力は上向き、変位は下向きなので、弾性力がした仕事は $- \frac{1}{2} k x^{2} < 0$ で負。誤り。エ: 重力による位置エネルギーの減少量 $m g x$ は弾性力による位置エネルギーの増加量 $\frac{1}{2} m g x$ より大きく、その差は $\frac{1}{2} m g x$ で、手がした仕事の大きさ $∣ W_{手} ∣ = \frac{1}{2} m g x$ に等しい。正しい。オ: すべての力がした仕事の和は運動エネルギーの変化に等しく $0$ であり、位置エネルギーの減少量 $m g x$ とは等しくない。誤り。確かめ: $m = 1 kg$ 、 $k = 10 N/m$ 、 $g = 10 m/ s^{2}$ とすると $x = 1 m$ 、重力の仕事は $10 J$ 、弾性エネルギーは $5 J$ 、手の仕事は $- 5 J$ で、差 $10 - 5 = 5 J$ と一致する。答えはエ。

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