重力・弾性力による位置エネルギー

重力による位置エネルギー $m g h$ が基準面の選び方で値が変わること、弾性エネルギー $\frac{1}{2} k x^{2}$ が伸びの 2 乗に比例することを使って、文の正誤を判定できる

前提

仕事の定義と正・負・0 （高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））
重力と弾性力の位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

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算数中学高校大学大学院

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重力と弾性力の位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

説明

重力による位置エネルギー $m g h$ と、ばねの弾性力による位置エネルギー（弾性エネルギー） $\frac{1}{2} k x^{2}$ の性質を使って、文の正誤を判定します。 $m g h$ は基準面の選び方で値が変わり、基準面より下では負になります。一方、 $\frac{1}{2} k x^{2}$ は伸び（縮み） $x$ の2乗に比例し、負にはなりません。教科書の内容を確かめる選択式の問題で、「どこが誤りか」を素早く見抜くのに使います。

なぜそうしてよいのか

位置エネルギーは「その位置から基準の位置まで物体が移るあいだに、重力や弾性力がする仕事」で決まります。重力 $m g$ は鉛直下向きで一定です。基準面より $h$ 高い位置から基準面まで物体が下がると、重力の仕事は $W = m g h$ になります。斜めに動いても、 $W = F x cos θ$ の $x cos θ$ は鉛直に下がった距離 $h$ に等しいので、道筋によらず同じ値です。したがって $m g h$ の $h$ は「基準面からの高さ」です。基準面を変えれば $h$ が変わり、値も変わります。基準面より下にある物体を基準面まで上げると重力は負の仕事をするので、そのときの位置エネルギーは $- m g h$ （負）です。ただし 2 点の位置エネルギーの差 $m g (h_{1} - h_{2})$ は高さの差だけで決まるので、基準面をどこにとっても変わりません。

ばねの弾性力の大きさ $k x$ は、自然の長さからの伸び $x$ に比例して大きくなり、一定ではありません。横軸に $x$ 、縦軸に力 $k x$ をとったグラフは原点を通る直線になります。自然の長さに戻るまでに弾性力がする仕事は、このグラフと横軸で囲まれた三角形の面積 $\frac{1}{2} \times x \times k x = \frac{1}{2} k x^{2}$ です。伸びが 2 倍になると、三角形は底辺も高さも 2 倍になるので、面積は 4 倍になります。これが「2乗に比例」の意味です。縮めた場合も、自然の長さに戻るまで弾性力は移動の向きに働くので、仕事は正です。そのため弾性エネルギーは伸びでも縮みでも $\frac{1}{2} k x^{2} ≧ 0$ で、基準は必ず自然の長さです。

手順

文が重力による位置エネルギーと弾性力による位置エネルギーのどちらについて述べているかを見分ける。
重力の場合は、基準面からの高さ $h$ で $m g h$ が決まることを確かめる。基準面を変えると値が変わること、基準面より下では $- m g h$ （負）になること、2点間の差 $m g (h_{1} - h_{2})$ は基準面によらないことに照らして判定する。
弾性力の場合は、 $x$ が自然の長さからの伸び（縮み）であることを確かめる。そのうえで $\frac{1}{2} k x^{2}$ に当てはめ、 $x$ が $n$ 倍なら $n^{2}$ 倍になること、縮みでも正の値で負にはならないことに照らして判定する。
選択肢を1つずつ式で確かめ、正しいもの（または誤っているもの）を選ぶ。

例題

重力による位置エネルギーと、ばねの弾性力による位置エネルギーについて述べた次の文のうち、正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。ただし、ばねは軽く、ばね定数を $k$ とする。
ア　重力による位置エネルギーは、どこを基準面にとっても同じ値になる。
イ　ばねの自然の長さからの伸びを 2 倍にすると、弾性力による位置エネルギーは 2 倍になる。
ウ　質量 $m$ の物体が基準面より低い位置にあるとき、重力による位置エネルギーは負の値になる。
エ　ばねを自然の長さから $x$ だけ縮めたときの弾性力による位置エネルギーは、負の値 $- \frac{1}{2} k x^{2}$ になる。

例題の解答

手順1：ア・ウは重力による位置エネルギー、イ・エは弾性力による位置エネルギーについての文である。
手順2（ア・ウ）： $m g h$ の $h$ は基準面からの高さなので、基準面を変えると値は変わる。よってアは誤り。基準面より $h$ だけ低い位置では、位置エネルギーは $- m g h < 0$ となる。よってウは正しい。
手順3（イ・エ）：伸びを $2 x$ にすると $\frac{1}{2} k (2 x)^{2} = 4 \times \frac{1}{2} k x^{2}$ となり、4 倍になる。よってイは誤り。縮みが $x$ のときも弾性エネルギーは $\frac{1}{2} k x^{2} > 0$ で正である。よってエは誤り。
手順4：正しいものはウである。

答え:

ウ

よくある誤り

重力による位置エネルギーはいつも正だと考えてしまう誤り。正しくは、基準面より $h$ 低い位置では $- m g h$ となり、負の値になる。
弾性エネルギーが伸びに比例すると考え、伸びが 2 倍なら 2 倍としてしまう誤り。正しくは、 $\frac{1}{2} k (2 x)^{2} = 4 \times \frac{1}{2} k x^{2}$ なので 4 倍になる（伸びが 3 倍なら 9 倍）。
$x$ にばねの全長や、ある位置からの変化量を入れてしまう誤り。正しくは、 $x$ は自然の長さからの伸び（縮み）である。たとえば伸びを $x_{1}$ から $x_{2}$ に増やしたときの弾性エネルギーの増加は $\frac{1}{2} k (x_{2} - x_{1})^{2}$ ではなく、 $\frac{1}{2} k x_{2}^{2} - \frac{1}{2} k x_{1}^{2}$ である。
基準面を変えると、2 点間の重力による位置エネルギーの差も変わると考えてしまう誤り。正しくは、差は $m g h_{1} - m g h_{2} = m g (h_{1} - h_{2})$ で、高さの差だけで決まり、基準面によらない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

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この技能の次に学べること

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