保存力と非保存力

仕事が経路によらず始点と終点だけで決まる力を保存力と呼べ、重力・弾性力（保存力）と摩擦力・張力・垂直抗力など（非保存力）を区別できる

前提

重力・弾性力による位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））

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算数中学高校大学大学院

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重力と弾性力の位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
重力・弾性力による位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））

説明

物体にはたらく力には、した仕事が途中の道すじ（経路）によらず、始点と終点の位置だけで決まるものがあります。そのような力を保存力といい、重力と弾性力（ばねの力）が代表です。一方、摩擦力・空気抵抗・垂直抗力・張力・人が手で加える力などは保存力ではなく、非保存力と呼ばれます。この区別ができると、位置エネルギーを考えてよい力はどれか、力学的エネルギーが保存されるのはどんなときかを判断できます。

なぜそうしてよいのか

まず重力です。質量 $m$ の物体を高さ $h_{A}$ の点 A から高さ $h_{B}$ の点 B まで、どんな経路で動かしてもよいとします。経路を細かい階段状の動きに分けると、水平な部分では重力（鉛直下向き）と移動の向きが垂直なので仕事は $0$ です。鉛直な部分だけが仕事をし、下に $Δ h$ 動けば $+ m g Δ h$ 、上に動けば $- m g Δ h$ です。全部足すと途中の上り下りは打ち消し合い、 $W = m g (h_{A} - h_{B})$ だけが残ります。次にばねの弾性力です。大きさ $k x$ は伸び $x$ だけで決まり、横軸に $x$ 、縦軸に力の大きさ $k x$ をとったグラフは原点を通る直線です。伸び $0$ から $x$ までのグラフの下の三角形の面積 $\frac{1}{2} k x^{2}$ が、その間に弾性力がする仕事の大きさです。伸びるときは力が移動と逆向きで負、縮むときは同じ向きで正の仕事になるので、伸び $x_{A}$ から $x_{B}$ までの仕事は $\frac{1}{2} k x_{A}^{2} - \frac{1}{2} k x_{B}^{2}$ となり、途中で何回伸び縮みしても始めと終わりの伸びだけで決まります。

このように、力の大きさと向きが物体の位置だけで決まり、仕事が始点と終点だけで決まる力では、「位置 A から基準の位置まで動くときに力がする仕事」を位置 A の位置エネルギー $U_{A}$ と決められます。A から B までの仕事は $W = U_{A} - U_{B}$ です。 $m g h$ や $\frac{1}{2} k x^{2}$ はまさにこれです。出発点に戻る経路（一周する経路）では $U_{A} - U_{A} = 0$ なので、保存力の一周の仕事は必ず $0$ です。

非保存力はこれができない力です。動摩擦力は大きさ $μ^{'} N$ でいつも動く向きと逆向きにはたらくので、 $N$ が一定の場合（水平面上など）は仕事が $W = - μ^{'} N s$ （ $s$ は実際に動いた道のり）となり、遠回りするほど負の仕事が大きくなります。垂直抗力や張力は、大きさや向きが物体の位置だけでは決まらず、面や糸がどう動いているか・物体がどう運動しているかで変わります。たとえば振り子の糸の張力は移動の向きにいつも垂直で仕事 $0$ ですが、糸を手で引いて物体を持ち上げれば正の仕事をします。同じ始点と終点でも状況によって仕事が変わりうるので、位置だけで決まる位置エネルギーを定義できず、非保存力に分類されます。ただし、固定された面の垂直抗力や振り子の張力のように、移動の向きにいつも垂直で仕事をしない場合は、その力があっても力学的エネルギーは保存されます。

手順

調べたい力について、同じ始点 A と終点 B を結ぶ 2 つ以上の経路や状況を思い浮かべる（遠回りの経路、一周して戻る経路を含める）。
それぞれでその力がする仕事を考える。重力なら $m g (h_{A} - h_{B})$ 、弾性力なら $\frac{1}{2} k x_{A}^{2} - \frac{1}{2} k x_{B}^{2}$ 、動摩擦力なら（ $N$ が一定のとき） $- μ^{'} N s$ （ $s$ は道のり）。
仕事がいつも始点と終点だけで決まる力（位置エネルギーを定義できる力）なら保存力、経路や運動の状況によって仕事が変わりうる力なら非保存力と判定する。一周して仕事が $0$ でなければ必ず非保存力。
代表例で確認する。保存力：重力・弾性力。非保存力：摩擦力・空気抵抗・垂直抗力・張力・人が手で加える力。
保存力には位置エネルギーがあり $W = U_{A} - U_{B}$ と書けること、非保存力には位置エネルギーがないこと（ただし仕事をしなければ力学的エネルギーは保存されること）を使って、選択肢の正誤を判断する。

例題

保存力と非保存力に関する記述として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　あらい水平面上で物体を A から B まで動かすとき、動摩擦力がする仕事は、途中の経路によらず等しい。
イ　重力が物体にする仕事は、始点と終点の高さの差だけで決まり、途中の経路によらない。
ウ　糸の張力は、する仕事が経路によらないので保存力である。
エ　ばねの弾性力は、物体を動かす経路によって仕事が変わるので非保存力である。

例題の解答

手順 1・2 に従い、各力について経路や状況を変えたときの仕事を考え、手順 3 で判定する。
ア：水平面上では $N$ が一定なので、動摩擦力の仕事は $- μ^{'} N s$ （ $s$ は道のり）。遠回りすると $s$ が長くなり仕事が変わるので誤り（動摩擦力は非保存力）。
イ：重力の仕事は、水平な移動では $0$ 、鉛直な移動だけが効くので $m g (h_{A} - h_{B})$ となり、高さの差だけで決まる。正しい（重力は保存力）。
ウ：おもりが最下点 A から、振り子として振れて高い点 B まで上がる場合、張力は移動の向きにいつも垂直なので仕事は $0$ 。同じ A から B へ、糸の上端を手で引き上げながら運ぶ場合は、張力が移動の向きと鋭角をなすので仕事は正になる。同じ始点・終点でも仕事が変わるので、張力は非保存力であり誤り（手順 4 とも一致）。
エ：弾性力の仕事は $\frac{1}{2} k x_{A}^{2} - \frac{1}{2} k x_{B}^{2}$ で、始めと終わりの伸びだけで決まり経路によらない。弾性力は保存力なので誤り。
よって正しいものはイ。

答え:

イ

よくある誤り

垂直抗力は仕事をしないことが多いので保存力だとしてしまう誤り。正しくは、垂直抗力は大きさや向きが位置だけで決まらない非保存力である。たとえば上昇するエレベーターの床が人を押す垂直抗力は正の仕事をし、その値はエレベーターの動き方で変わる（仕事をしない場面では力学的エネルギーは保存される、というだけである）。
動摩擦力の仕事を、始点から終点までのまっすぐな距離 $d$ を使って $- μ^{'} N d$ としてしまう誤り。正しくは（ $N$ が一定のとき）実際に動いた道のり $s$ を使って $W = - μ^{'} N s$ であり、遠回りするほど仕事の大きさは大きくなる（だから非保存力）。
長さ $L$ 、傾き $θ$ の斜面をすべり下りるとき、道のりが長いから重力の仕事は真下に落ちるより大きいとしてしまう誤り。正しくは、重力の斜面方向の成分は $m g sin θ$ なので仕事は $m g sin θ \times L = m g h$ （ $h = L sin θ$ は高さの差）で、真下に落ちる場合と等しい。
一周して仕事が $0$ になったから保存力だ、あるいは一周すればどんな力でも仕事は $0$ だとしてしまう誤り。正しくは、保存力なら一周の仕事は必ず $0$ であり、逆に一周の仕事が $0$ でない力は非保存力である（例：動摩擦力は一周の道のり $s$ に対して $- μ^{'} N s \neq = 0$ ）。一方、垂直抗力のように非保存力でも一周の仕事がたまたま $0$ になる場合があるので、一周で $0$ というだけでは保存力とはいえない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $m$ の小物体を、点 A から、A より高さ $h$ だけ低い点 B まで、次の 2 つの経路で別々に移動させる。
- 経路 1: A と B を結ぶ、なめらかな面に沿った経路
- 経路 2: A と B を結ぶ、経路 1 より道のりの長い、粗い面に沿った経路
重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。
「重力がこの物体にする仕事は、経路 1 と経路 2 で（ a ）。一方、経路 2 で物体にはたらく動摩擦力は（ b ）である。」
文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして正しいものを、次の表のア〜エのうちから 1 つ選べ。
a b
ア経路 2 のほうが大きい保存力
イ等しい保存力
ウ経路 2 のほうが大きい非保存力
エ等しい非保存力

	a	b
ア	経路 2 のほうが大きい	保存力
イ	等しい	保存力
ウ	経路 2 のほうが大きい	非保存力
エ	等しい	非保存力

この技能を使う問題

	a	b
ア	保存力	正
イ	保存力	負
ウ	非保存力	$0$
エ	保存力	$0$
オ	非保存力	正
カ	非保存力	負

この技能の次に学べること

力学的エネルギーが保存される条件（高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））