力学的エネルギーが保存される条件

力学的エネルギーの変化が非保存力のした仕事の和に等しいことを使い、非保存力の仕事が 0 のとき力学的エネルギーが保存されると判定できる（例: なめらかな曲面の垂直抗力、動摩擦力がはたらく場合）

前提

保存力と非保存力（高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

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算数中学高校大学大学院

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力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

説明

物体の運動のようすを見て、力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギーの和）が保存されるかどうかを判定する技能です。手がかりは「力学的エネルギーの変化＝非保存力がした仕事の和」という関係です。この関係を使うと、摩擦がある場合や手で押す場合のように保存されない場面でも、力学的エネルギーが増えるか減るかを判断できます。力学的エネルギー保存則を使ってよいかを確かめるときに必ず使います。

なぜそうしてよいのか

運動エネルギーと仕事の関係から出発します。物体にはたらく力を、保存力（重力・弾性力）と非保存力（摩擦力・張力・垂直抗力・手の力など）に分けます。それぞれの仕事を $W_{保}$ 、 $W^{'}$ とすると、 $K_{B} - K_{A} = W_{保} + W^{'}$ です。保存力の仕事は経路によらず位置だけで決まります。そのため、位置エネルギー $U$ を使って $W_{保} = U_{A} - U_{B}$ と書けます（例: 重力なら高さ $h$ だけ下がると $m g h$ の正の仕事をし、そのぶん $U$ が減ります）。

これを代入して整理すると $(K_{B} + U_{B}) - (K_{A} + U_{A}) = W^{'}$ となります。つまり、力学的エネルギー $E = K + U$ の変化は、非保存力がした仕事の和 $W^{'}$ に等しくなります。保存力のはたらきは、すでに $U$ の中に入っているのです。

したがって $W^{'} = 0$ なら $E$ は一定、 $W^{'} > 0$ なら増加、 $W^{'} < 0$ なら減少します。大切なのは、非保存力が「はたらいているか」ではなく、「仕事をしているか」です。たとえば、固定されたなめらかな面の垂直抗力や、単振り子の糸の張力は、つねに運動の向きに垂直です。そのため仕事は $W = F x cos 9 0^{\circ} = 0$ となり、力学的エネルギーは保存されます。一方、動摩擦力は運動と逆向きにはたらき、負の仕事をします。そのため力学的エネルギーは減ります。

手順

対象（1つの物体か、糸でつながった物体系か）を決め、はたらく力をすべて挙げる。
力を保存力（重力・弾性力）と非保存力（摩擦力・張力・垂直抗力・手の力・空気抵抗など）に分ける。保存力は位置エネルギーとして $E$ に含める。
非保存力それぞれの仕事を調べる。力と移動の向きのなす角を $θ$ とすると $W = F x cos θ$ 。運動の向きに垂直なら $0$ 、逆向きなら負。
非保存力の仕事の和 $W^{'}$ から判定する。 $Δ E = W^{'}$ なので、 $W^{'} = 0$ なら保存、 $W^{'} > 0$ なら増加、 $W^{'} < 0$ なら減少。

例題

物体の力学的エネルギー（運動エネルギーと重力による位置エネルギーの和）が保存されるものとして正しいものを、次のア〜エのうちから1つ選べ。
ア　あらい水平面上を、動摩擦力を受けながらすべる物体（空気抵抗は無視できる）
イ　地面に固定されたなめらかな曲面上を、すべり降りる物体（空気抵抗は無視できる）
ウ　手で鉛直上向きに、一定の速さで持ち上げられている物体
エ　空気抵抗を受けながら落下する雨粒

例題の解答

手順1・2：それぞれ、はたらく力を挙げて非保存力を見つける。
ア：重力（保存力）、垂直抗力・動摩擦力（非保存力）。
イ：重力（保存力）、垂直抗力（非保存力）。
ウ：重力（保存力）、手の力（非保存力）。
エ：重力（保存力）、空気抵抗（非保存力）。

手順3：非保存力の仕事を調べる。
ア：垂直抗力は運動の向きに垂直なので仕事は $0$ 。動摩擦力は運動と逆向きなので仕事は負。
イ：曲面は固定されていてなめらかなので、垂直抗力はつねに運動の向き（面に沿う向き）に垂直になる。仕事は $0$ 。
ウ：手の力は上向きで、移動の向きも上向きなので仕事は正。
エ：空気抵抗は運動と逆向きなので仕事は負。

手順4： $Δ E = W^{'}$ で判定する。
ア： $W^{'} < 0$ なので減少する。
イ： $W^{'} = 0$ なので保存される。
ウ： $W^{'} > 0$ なので増加する（速さが一定でも高さが増える）。
エ： $W^{'} < 0$ なので減少する。
よって、正しいものはイ。

答え:

イ

よくある誤り

非保存力がはたらいているだけで「保存されない」と判定してしまう誤り。正しくは、仕事をするかどうかで決まる。固定されたなめらかな面の垂直抗力 $N$ は運動の向きに垂直なので、 $W = N x cos 9 0^{\circ} = 0$ となり、力学的エネルギーは保存される。
一定の速さで持ち上げるとき、運動エネルギーが変わらないので力学的エネルギーも保存されると考えてしまう誤り。正しくは、高さ $h$ 上がると位置エネルギーが $m g h$ 増える。手の力がした正の仕事 $W^{'} = m g h$ だけ、力学的エネルギーは増加する。
摩擦があっても、動摩擦力を重力と同じように扱い「保存される」としてしまう誤り。正しくは、動摩擦力は位置エネルギーで表せない非保存力である。距離 $d$ すべると、垂直抗力 $N$ 、動摩擦係数 $μ^{'}$ として $Δ E = - μ^{'} N d < 0$ となり、力学的エネルギーは減少する。
滑車にかけた糸でつながる2物体で、張力 $T$ がそれぞれの物体に仕事をするので「系全体でも保存されない」としてしまう誤り。正しくは、軽くて伸びない糸なら、両物体は同じ距離 $x$ だけ動く。一方への仕事が $+ T x$ 、他方への仕事が $- T x$ なので和は $0$ となり、摩擦がなければ系全体の力学的エネルギーは保存される（ただし、物体1つずつの力学的エネルギーは保存されない）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
次のア〜オのそれぞれの運動について、物体の力学的エネルギー（物体の運動エネルギーと重力による位置エネルギーの和）を考える。運動している間、物体の力学的エネルギーが一定に保たれるものを、次のア〜オからすべて選べ。ただし、どの場合も空気抵抗は無視し、物体は質点とみなせるものとする。また、曲面・床・糸の上端は地面に固定されていて動かないものとする。
- ア　なめらかな（摩擦のない）曲面上を、物体が曲面から離れずにすべり下りる。
- イ　粗い（摩擦のある）水平な床の上を、物体がすべりながらしだいに遅くなる。
- ウ　軽くて伸びない糸の上端を固定し、下端につるした物体が、糸がたるまないまま鉛直面内で振り子として往復運動をする。
- エ　物体を手で持ち、一定の速さで鉛直上向きにゆっくりと持ち上げる。
- オ　斜め上向きに投げ上げられた物体が、地面に落ちるまで空中を運動する。

この技能を使う問題

	a	b
ア	保存力	正
イ	保存力	負
ウ	非保存力	$0$
エ	保存力	$0$
オ	非保存力	正
カ	非保存力	負

この技能の次に学べること

エネルギーの変換とエネルギー保存の法則（高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））