仕事・エネルギーと運動量（知識）の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識）

小球をある高さから静かにはなし、水平に固定された床に鉛直に衝突させたところ、小球は鉛直上向きにはね返り、はなした高さよりも低い高さまで上がった。この衝突について述べた文として最も適当なものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。ただし、空気抵抗は無視する。

ア　小球と床の間の反発係数は $1$ であり、衝突の前後で小球の力学的エネルギーは保存される。
イ　小球と床の間の反発係数は $0$ であり、衝突によって小球の運動エネルギーはすべて失われる。
ウ　小球と床の間の反発係数は $1$ より大きく、衝突によって小球の力学的エネルギーは増加する。
エ　小球と床の間の反発係数は $0$ より大きく $1$ より小さく、衝突によって小球の力学的エネルギーの一部が失われる。

この問題で使うもの

反発係数と衝突の種類（説明と入口の問題）
力学的エネルギーが保存される条件（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（58 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

反発係数の定義（衝突直前と直後の速さの比）と、反発係数の値による衝突の分類を思い出そう。

ヒント 2

空気抵抗を無視すれば、落下中と上昇中は力学的エネルギーが保存されるので、はね上がる高さは衝突直後の速さで決まる。

ヒント 3

はね返った（直後の速さが 0 ではない）ことと、もとの高さまで戻らなかったことから、反発係数が 0・1 のどちらでもないことがわかる。

答えと解説

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エ

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解説を読む

小球が床に衝突する直前の速さを $v$ 、直後の速さを $v^{'}$ とすると、反発係数（はねかえり係数）は
$e = \frac{v ^{'}}{v}$
であり、 $0 ≦ e ≦ 1$ の値をとる。 $e = 1$ の衝突を弾性衝突（完全弾性衝突）、 $0 ≦ e < 1$ の衝突を非弾性衝突といい、とくに $e = 0$ の場合を完全非弾性衝突という。弾性衝突では力学的エネルギーが保存されるが、非弾性衝突では力学的エネルギーの一部が熱や音などに変わって失われる。

空気抵抗を無視するので、落下中と上昇中は重力だけが仕事をし、小球の力学的エネルギーは保存される。それにもかかわらず、はね上がった高さがはなした高さより低いのは、衝突の直後の速さが直前の速さより小さい（ $v^{'} < v$ ）からである。また、小球ははね返っているので $v^{'} > 0$ である。よって $0 < e < 1$ であり、衝突で力学的エネルギーの一部が失われている。

ア　誤り。 $e = 1$ なら $v^{'} = v$ となり、小球ははなした高さまで戻るはずである。
イ　誤り。 $e = 0$ なら $v^{'} = 0$ となり、小球ははね返らない。
ウ　誤り。物体どうし（物体と床）の衝突の反発係数は $1$ より大きくならず、衝突で力学的エネルギーが増加することはない。
エ　正しい。上で調べたとおり $0 < e < 1$ であり、力学的エネルギーの一部が失われている。

よって、最も適当なものはエである。

別解

床に衝突する直前の速さを $v$ 、はね返った直後の速さを $v^{'}$ とすると、反発係数は $e = v^{'} / v$ 。はなした高さを $h$ 、はね上がった高さを $h^{'}$ とすると、 $v = 2 g h$ 、 $v^{'} = 2 g h^{'}$ なので $e = h^{'} / h$ 。問題文より $0 < h^{'} < h$ なので $0 < e < 1$ 。選択肢の確認: ア: $e = 1$ なら $h^{'} = h$ となり、はなした高さまで戻るので、問題の状況(低い高さまで)と矛盾する。誤り。イ: $e = 0$ なら小球ははね返らないので、はね返った事実と矛盾する。誤り。ウ: $e > 1$ なら $h^{'} > h$ となりはなした高さより高く上がるはずで、矛盾する。誤り。エ: $0 < e < 1$ であり、衝突の前後で運動エネルギーが $\frac{1}{2} m v^{2} \to \frac{1}{2} m e^{2} v^{2}$ と減少し、一部が失われる。正しい。確かめ: 例えば $h^{'} = h /4$ なら $e = 1/2$ で、エネルギーは $1/4$ 倍になり、 $0 < e < 1$ と整合する。答えはエ。

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