運動量と力積

運動量 $m v$ が速度と同じ向きのベクトルであること、運動量の変化が受けた力積 $F Δ t$ に等しいこと、単位 $N \cdot s = kg \cdot m/s$ であることを使って、文の正誤を判定できる

前提

運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

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算数中学高校大学大学院

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運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

説明

運動量と力積について述べた文が正しいか誤りかを、計算をせずに判定できるようになります。使う手がかりは三つです。運動量 $m v$ は速度と同じ向きのベクトルであること、運動量の変化は受けた力積 $F Δ t$ に等しいこと、単位は $N \cdot s = kg \cdot m/s$ であることです。選択式の問題で、文のどこが法則と食い違っているかを見つけるときに使います。

なぜそうしてよいのか

運動方程式 $m a = F$ から出発します。一定の力 $F$ が時間 $Δ t$ だけはたらいて、速度が $v$ から $v^{'}$ に変わったとします。加速度は $a = \frac{v ^{'} - v}{Δ t}$ なので、運動方程式に代入して両辺に $Δ t$ を掛けると $m v^{'} - m v = F Δ t$ が得られます。つまり「運動量の変化＝力積」は、運動方程式を時間でまとめて書き直したものです。力が時間とともに変わるときは、 $F$ をその間の平均の力と読めば同じ式が成り立ちます。

質量 $m$ は正のスカラーです。正の数を掛けてもベクトルの向きは変わらないので、運動量 $m v$ の向きはいつも速度 $v$ の向きと同じです。同じ理由で、力積 $F Δ t$ の向きは力 $F$ の向きと同じです。この力積が運動量の「変化」 $m v^{'} - m v$ に等しいので、力積の向きは運動量の変化の向きと一致します。運動の向き（速度の向き）と一致するとは限りません。また、運動量はベクトルなので、速さが同じでも向きが変われば運動量は変化します。

単位も式から決まります。力の単位は $N = kg \cdot m/ s^{2}$ です。これに時間 $s$ を掛けると $N \cdot s = kg \cdot m/s$ となり、運動量の単位（質量×速度）とぴったり一致します。両辺の単位がそろうのは、二つが等しいという式の当然の結果です。

手順

文が何について述べているかを見分ける。運動量の向き・大きさなのか、運動量の変化と力積の関係なのか、単位なのかを確かめる。
向きについての文は、ベクトルとして確かめる。運動量の向き＝速度の向き、力積の向き＝力の向き＝運動量の変化 $m v^{'} - m v$ の向き。
変化についての文は、ベクトルの差で考える。速さが変わらなくても向きが変われば $m v^{'} - m v \neq = 0$ であり、運動量は変化する。
力と時間の関係についての文は、 $m v^{'} - m v = F Δ t$ を当てはめる。運動量の変化が同じなら、力がはたらく時間 $Δ t$ が長いほど力の大きさ $F$ は小さい。
単位についての文は、 $N = kg \cdot m/ s^{2}$ から $N \cdot s = kg \cdot m/s$ となることと照らし合わせる。
以上と食い違う部分がある文を誤りとし、残った文を正しいと判定する。

例題

運動量と力積について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　運動量はスカラー量であり、向きをもたない。
イ　物体の速さが変わらなければ、運動の向きが変わっても、物体の運動量は変化しない。
ウ　運動量の単位 $kg \cdot m/s$ は、力積の単位 $N \cdot s$ と等しい。
エ　物体が受けた力積の向きは、つねに物体のはじめの運動の向きと同じである。

例題の解答

手順 1：ア・イは運動量の向きと変化、ウは単位、エは力積の向きについての文である。
手順 2（ア）：運動量 $m v$ は、正の数 $m$ をベクトル $v$ に掛けたものなので、速度と同じ向きをもつベクトルである。よってアは誤り。
手順 3（イ）：運動量はベクトルなので、速さが同じでも向きが変われば $m v^{'} - m v \neq = 0$ となる。たとえば速さ $v$ で壁に垂直に当たり、速さ $v$ で逆向きにはね返ると、運動量の変化の大きさは $2 m v$ である。よってイは誤り。
手順 2（エ）：力積 $F Δ t$ の向きは力の向きであり、運動量の変化の向きと同じである。はじめの運動の向きとは限らない。イの壁の例では、力積の向きははじめの運動と逆向きである。よってエは誤り。
手順 5（ウ）： $N = kg \cdot m/ s^{2}$ なので、 $N \cdot s = kg \cdot m/ s^{2} \times s = kg \cdot m/s$ となる。よってウは正しい。
手順 6：正しいものはウである。

答え:

ウ

よくある誤り

運動量の変化を、大きさの差 $m ∣ v^{'} ∣ - m ∣ v ∣$ で求めてしまう誤り。正しくはベクトルの差 $m v^{'} - m v$ で求める。速さ $v$ で壁に当たり、速さ $v$ で逆向きにはね返るときの変化は $0$ ではなく、大きさ $2 m v$ になる。
力積の向きは物体の運動の向き（速度の向き）と同じだと考えてしまう誤り。正しくは、力積 $F Δ t$ の向きは力 $F$ の向きであり、運動量の変化 $m v^{'} - m v$ の向きと一致する。
力積の単位を $N/s$ や $kg \cdot m/ s^{2}$ と取り違える誤り。正しくは、力に時間を掛けるので $N \cdot s = kg \cdot m/s$ であり、運動量の単位と等しい。
運動量の変化が同じなら、はたらく力の大きさも同じだと考えてしまう誤り。正しくは $m v^{'} - m v = F Δ t$ より、運動量の変化が同じでも、時間 $Δ t$ が長いほど（平均の）力の大きさ $F$ は小さくなる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量の決まったボールが、水平に東向きに一定の速さで飛んできて、グラブ（グローブ）で受け止められ、静止した。ボールがグラブにふれてから静止するまでの間について、水平方向の運動と力だけを考える（ボールにはたらく重力や空気抵抗の影響は考えない）。また、「平均の力」とは、ボールが受けた力積をその力を受けた時間で割ったものとする。
このことについて述べた文として正しいものを、次のア〜オからすべて選べ。ただし、ウ・エでは、ボールの質量と、グラブにふれる直前の速度（向きと速さ）は同じで、ボールが最後に静止することも同じとする。
- ア　グラブにふれる直前のボールの運動量の向きは、東向きである。
- イ　ボールがグラブから受けた力積の向きは、西向きである。
- ウ　グラブを後ろに引きながら受け止めて、静止するまでの時間を長くすると、ボールがグラブから受ける力積の大きさは大きくなる。
- エ　グラブを後ろに引きながら受け止めて、静止するまでの時間を長くすると、ボールがグラブから受ける平均の力の大きさは小さくなる。
- オ　力積の単位 $N \cdot s$ は、仕事の単位 $J$ と同じものである。

この技能を使う問題

	a	b
ア	仕事	内力
イ	力積	内力
ウ	力学的エネルギー	外力
エ	力積	外力
オ	仕事	外力
カ	力学的エネルギー	内力

	a	b	c
ア	力積	外力	内力
イ	仕事	内力	外力
ウ	力積	外力	外力
エ	仕事	外力	内力
オ	力積	内力	内力
カ	力積	内力	外力

この技能の次に学べること

内力・外力と運動量保存の法則（高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））