仕事・エネルギーと運動量（知識）の問題
天井から鉛直につるした軽くて伸びない糸の下端に、木片が静止している。この木片に、弾丸を水平に打ち込んだところ、弾丸は木片の中で止まり、その後、弾丸と木片は一体となって糸がたるまないまま鉛直面内で振れ上がった。弾丸が木片に入ってから木片の中で止まるまでの時間はきわめて短く、その間に木片はほとんど動かない（糸は鉛直のままとみなせる）ものとする。空気抵抗は無視し、弾丸と木片は質点とみなせるものとする。
この現象について述べた文として最も適当なものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。
- ア 弾丸が木片に入ってから木片の中で止まるまでの間、弾丸と木片の運動量の和の水平成分は保存される。
- イ 弾丸が木片に入ってから木片の中で止まるまでの間に、弾丸が木片から受ける力積と木片が弾丸から受ける力積は、大きさが等しく同じ向きである。
- ウ 弾丸が木片に入ってから木片の中で止まるまでの間、弾丸と木片の運動エネルギーの和は保存される。
- エ 弾丸と木片が一体となって振れ上がっていく間も、弾丸と木片の運動量の和の水平成分は保存される。
- オ 弾丸が木片に入ってから木片の中で止まるまでの間の弾丸の運動量の変化は、その間に弾丸が木片から受けた力がした仕事に等しい。
この問題で使うもの
- 内力・外力と運動量保存の法則（説明と入口の問題）
- 運動量と力積（説明と入口の問題）
- 反発係数と衝突の種類（説明と入口の問題）
- 運動エネルギーと仕事の関係（説明と入口の問題）
- 作用反作用の法則とつり合う 2 力の区別（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（51 技能）
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- 力の分解と質点のつり合い
- 運動の法則（運動方程式）
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- 運動量と力積
- 運動量と力積
- 作用反作用の法則とつり合う 2 力の区別
- 運動量保存則
- 内力・外力と運動量保存の法則
- 静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力
- 静止摩擦力と動摩擦力
- 仕事
- 仕事の定義と正・負・0
- 運動エネルギーと仕事の関係
- 運動エネルギーと仕事の関係
- 反発係数と衝突の種類
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
弾丸と木片を 1 つの物体系と考え、物体系にはたらく力を内力と外力に分けよう。運動量の変化は力積で決まる。
ヒント 2
物体系の運動量の成分が保存されるのは、その向きの外力（の力積）がないときである。糸の張力の向きが、衝突の間と振れ上がる間でどう違うかを考えよう。
ヒント 3
作用・反作用の 2 力の力積の向き、運動量の変化と運動エネルギーの変化をそれぞれ何が決めるかを確かめると、イとオは除ける。完全非弾性衝突でのエネルギーを考えるとウも除ける。
答えと解説
答えを見る
ア
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解説を読む
弾丸と木片をまとめて 1 つの物体系と考える。弾丸と木片が互いに及ぼし合う力は内力であり、内力は作用・反作用の関係にあるので、物体系全体の運動量を変えない。物体系の運動量（またはその成分）が保存されるのは、その向きに外力がはたらかないか、外力の力積が無視できるときである。
- ア（正しい）：打ち込まれてから止まるまでの間、物体系にはたらく外力は、重力と糸の張力である。この間は糸が鉛直のままとみなせるので、どちらの外力も鉛直方向で、水平成分をもたない。水平方向には内力しかはたらかないので、運動量の和の水平成分は保存される。
- イ（誤り）：弾丸が木片から受ける力と木片が弾丸から受ける力は作用・反作用の関係にあり、同じ時間だけはたらく。したがって 2 つの力積は大きさが等しく、向きは逆向きである。「同じ向き」が誤り。
- ウ（誤り）：弾丸は木片の中にめり込んで止まり、2 物体は一体となる。このような衝突（完全非弾性衝突）では、運動エネルギーの一部が熱や木片の変形などに変わるので、運動エネルギーの和は減少し、保存されない。
- エ（誤り）：振れ上がっていく間は糸が鉛直から傾くので、糸の張力が水平成分をもつ。この外力の水平成分の力積を受けるので、運動量の和の水平成分は変化する（最も高い点では水平方向の速度は になる）。「振れ上がっていく間も保存される」が誤り。
- オ（誤り）：物体の運動量の変化は、その間に物体が受けた力積に等しい。仕事に等しいのは運動エネルギーの変化である。「仕事に等しい」が誤り。
よって最も適当なものはアである。
別解
各選択肢を検討する。
- ア: 弾丸が木片の中で止まるまでの間、弾丸と木片にはたらく水平方向の外力はない。糸は鉛直のままなので糸の張力は鉛直で、水平成分をもたない。また重力も鉛直である。弾丸と木片の間にはたらく力は内力で、作用・反作用の法則により水平成分の和は打ち消し合う。したがって運動量の和の水平成分は保存される。正しい。
- イ: 弾丸が木片から受ける力と木片が弾丸から受ける力は作用・反作用の関係にあり、大きさが等しく向きは逆である。したがって力積も大きさが等しく向きが逆である。同じ向きとする記述は誤り。
- ウ: 弾丸が木片の中で止まる衝突は完全非弾性衝突であり、運動エネルギーの一部が熱などに変わるため、運動エネルギーの和は減少して保存されない。誤り。
- エ: 振れ上がる間は、糸が鉛直から傾くため、糸の張力が水平成分をもつ外力としてはたらく。弾丸と木片の運動量の和の水平成分は変化するので保存されない。誤り。
- オ: 運動量の変化は、その間に受けた力積に等しい（運動量と力積の関係）。力がした仕事に等しいのは運動エネルギーの変化である。誤り。
正しいのはアのみ。検算: 5 つの選択肢のうち、正しいものは 1 つで、問われた「1 つ選べ」と一致する。