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仕事・エネルギーと運動量（知識）の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識）

仕事とエネルギー、運動量と力積について述べた文として最も適当なものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。ただし、空気抵抗は無視する。

ア　物体に一定の力を加えて移動させるとき、力の向きと移動の向きが垂直であっても、力は「力の大きさ×移動距離」に等しい仕事をする。
イ　物体の運動量の変化は、その間に物体にはたらく力がした仕事に等しい。
ウ　なめらかな水平面上を一直線上で異なる速度で運動していた 2 物体が、衝突して一体となるとき、2 物体の運動量の和は衝突の前後で保存されるが、運動エネルギーの和は衝突後のほうが小さくなる。
エ　あらい水平面上を物体がすべって減速するとき、物体の力学的エネルギーは保存される。
オ　なめらかな水平面上で 2 物体が一直線上で衝突するとき、反発係数（はねかえり係数）が 1 より小さければ、2 物体の運動量の和は衝突の前後で減少する。

ただし、ウ・オの衝突では、2 物体には水平方向に、たがいに及ぼし合う力以外の力ははたらかないものとする。

この問題で使うもの

仕事の定義と正・負・0（説明と入口の問題）
運動量と力積（説明と入口の問題）
運動エネルギーと仕事の関係（説明と入口の問題）
内力・外力と運動量保存の法則（説明と入口の問題）
反発係数と衝突の種類（説明と入口の問題）
力学的エネルギーが保存される条件（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（58 技能）

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ヒント

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ヒント 1

仕事の定義、仕事と運動エネルギーの関係、力積と運動量の関係、運動量保存の法則と力学的エネルギー保存の法則が成り立つ条件を、それぞれ確認しよう。

ヒント 2

運動量の変化は力積に等しく、運動エネルギーの変化は仕事に等しい。運動量保存は外力の力積がないときに成り立ち、力学的エネルギー保存は保存力（と仕事をしない力）だけが仕事をするときに成り立つ。

ヒント 3

仕事の定義 $W = F x cos θ$ からアは除ける。イは運動量の変化に対応する量が違う。エは動摩擦力のはたらきを考えれば除ける。残りの衝突の 2 つの文について、反発係数によって保存されなくなる量が運動量か運動エネルギーかを考えよう。

答えと解説

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ウ

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正解はウです。

なめらかな水平面上で 2 物体が衝突するとき、水平方向には外力がはたらかず、衝突の際にはたらく力は 2 物体がたがいに及ぼし合う内力（作用・反作用）だけです。そのため、2 物体の運動量の和は衝突の前後で保存されます。一方、衝突して一体となる衝突は反発係数が $0$ の完全非弾性衝突であり、異なる速度で運動していた 2 物体が一体となると、運動エネルギーの和は保存されず、減少します（減少した分は熱や音などに変わります）。運動エネルギーの和が保存されるのは、反発係数が $1$ の弾性衝突のときだけです。

ほかの選択肢の誤りは次のとおりです。

ア：一定の力 $F$ で距離 $x$ だけ移動させるとき、力と移動の向きのなす角を $θ$ とすると、仕事は $W = F x cos θ$ です。力と移動の向きが垂直（ $θ = 9 0^{\circ}$ ）なら $cos 9 0^{\circ} = 0$ なので、力は仕事をしません。
イ：物体の運動量の変化は、その間に物体が受けた力積に等しくなります（ $m v^{'} - m v = F Δ t$ ）。物体にはたらく力がした仕事に等しいのは、運動エネルギーの変化です。
エ：あらい面上をすべる物体には、運動の向きと逆向きに動摩擦力がはたらき、動摩擦力は負の仕事をします。動摩擦力は保存力ではないので、その仕事の分だけ力学的エネルギーは減少し、保存されません。
オ：運動量の和が保存されるかどうかは、外力が力積を与えるかどうかで決まり、反発係数の値にはよりません。水平方向に外力がはたらかない衝突では、反発係数が $1$ より小さくても運動量の和は保存されます。反発係数が $1$ より小さいときに減少するのは、運動エネルギーの和です。

別解

各選択肢を確かめる。
- ア: 仕事は $W = F s cos θ$ で、力と移動の向きが垂直なら $θ = 9 0^{\circ}$ より $W = 0$ 。「力の大きさ×移動距離」にはならないので誤り。
- イ: 仕事に等しいのは運動エネルギーの変化であり、運動量の変化は力積に等しい。誤り。
- ウ: 水平方向に内力のみがはたらくので運動量の和は保存される。一体となる衝突は反発係数 $e = 0$ の完全非弾性衝突で、2 物体の速度が異なる（相対速度が 0 でない）ので運動エネルギーの和は衝突後に減少する。正しい。
- エ: あらい面では動摩擦力が負の仕事をし、力学的エネルギーは減少する（保存されない）。誤り。
- オ: 外力がなければ、反発係数が 1 より小さくても運動量の和は保存される（減少するのは運動エネルギー）。誤り。

正しいのはウのみ。

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