仕事・エネルギーと運動量（知識）の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識）

なめらかな水平面上に、軽いばねを水平に置き、ばねの一端を鉛直な壁に固定して、他端に物体をとりつけた。ばねを自然の長さから縮めた位置で物体を静止させ、静かに手をはなしたところ、物体はばねの軸に沿って水平面上を運動した。空気抵抗は無視し、物体は質点とみなせるものとする。また、ばねはフックの法則にしたがうものとする。

この運動について述べた文として正しいものを、次のア〜カのうちからすべて選べ。正しいものは 1 つとは限らない。

ア　ばねの弾性力による位置エネルギーは、ばねの縮みが 2 倍になると 4 倍になる。
イ　手をはなしてからばねが自然の長さにもどるまでの間、ばねの弾性力は物体に負の仕事をする。
ウ　物体がばねの自然の長さの位置を通過するときの物体の運動エネルギーは、手をはなす前にばねに蓄えられていた弾性力による位置エネルギーに等しい。
エ　手をはなしてからばねが自然の長さにもどるまでの間の物体の運動エネルギーの増加は、その間にばねの弾性力が物体にした仕事に等しい。
オ　物体がばねの自然の長さの位置を通過した後、ばねが伸びていく間は、物体の運動エネルギーは増え続ける。
カ　物体は水平面上だけを運動するので、重力による位置エネルギーの基準の高さをどこにとっても、物体の重力による位置エネルギーは $0$ になる。

この問題で使うもの

重力・弾性力による位置エネルギー（説明と入口の問題）
仕事の定義と正・負・0（説明と入口の問題）
運動エネルギーと仕事の関係（説明と入口の問題）
力学的エネルギーが保存される条件（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（52 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

弾性力による位置エネルギーの式 $\frac{1}{2} k x^{2}$ 、仕事の正負の決まり方、仕事とエネルギーの関係、力学的エネルギー保存の法則が成り立つ条件を使おう。

ヒント 2

力の向きと移動の向きが同じなら仕事は正、逆向きなら負になる。この運動で仕事をする力は弾性力だけである（重力と垂直抗力は移動の向きに垂直）。

ヒント 3

弾性力の向きと物体の移動の向きを、自然の長さの位置の前後で比べると、イとオの正誤がわかる。カは、重力による位置エネルギーが基準の高さによって変わることを思い出そう。

答えと解説

答えを見る

ア, ウ, エ

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解説を読む

ばね定数を $k$ 、ばねの伸びまたは縮みを $x$ とすると、弾性力による位置エネルギーは $\frac{1}{2} k x^{2}$ である。また、物体の運動エネルギーの変化は、物体にはたらくすべての力がした仕事の和に等しい（仕事とエネルギーの関係）。

ア（正しい）：弾性力による位置エネルギーは $\frac{1}{2} k x^{2}$ で $x^{2}$ に比例するので、縮みが 2 倍になると $2^{2} = 4$ 倍になる。
イ（誤り）：ばねが自然の長さにもどるまでの間、弾性力は物体を壁から遠ざける向き（ばねがのびる向き）にはたらき、物体もその向きに移動する。力の向きと移動の向きが同じなので、弾性力は物体に正の仕事をする。「負の仕事」が誤り。
ウ（正しい）：水平面はなめらかで摩擦がなく、空気抵抗も無視できる。物体にはたらく力のうち、重力と垂直抗力は移動の向きに垂直なので仕事をしない。仕事をするのは保存力である弾性力だけなので、力学的エネルギー（運動エネルギーと弾性力による位置エネルギーの和）が保存される。自然の長さの位置では弾性力による位置エネルギーが $0$ なので、そこでの運動エネルギーは、はじめにばねに蓄えられていた弾性力による位置エネルギーに等しい。
エ（正しい）：物体にはたらく力のうち仕事をするのは弾性力だけなので、仕事とエネルギーの関係より、運動エネルギーの増加は弾性力がした仕事に等しい。
オ（誤り）：自然の長さの位置を通過した後は、ばねが伸びて、弾性力は物体を壁の側に引きもどす向き、すなわち運動の向きと逆向きにはたらく。弾性力は負の仕事をするので、運動エネルギーは減っていく（そのぶん弾性力による位置エネルギーが増える）。「増え続ける」が誤り。
カ（誤り）：物体の高さは変わらないので、重力による位置エネルギーは一定である。しかし、その値は基準の高さのとり方によって変わり、 $0$ になるのは物体の高さを基準にとったときだけである。「どこにとっても $0$ 」が誤り。

よって正しいものはア、ウ、エである。

別解

ア: 弾性力による位置エネルギーは $\frac{1}{2} k x^{2}$ で縮み $x$ の 2 乗に比例するので、 $x$ が 2 倍で 4 倍になる。正しい。
イ: 縮んだばねが自然の長さにもどる間、弾性力は物体の運動の向きに働くので正の仕事をする。誤り。
ウ: 水平面はなめらかで力学的エネルギーが保存され、自然の長さの位置では位置エネルギーが 0 なので、運動エネルギーは最初の弾性力による位置エネルギーに等しい。正しい。
エ: 運動エネルギーの変化は、物体にされた仕事に等しい（仕事とエネルギーの関係）。この間物体にする仕事をするのは弾性力だけ（重力と垂直抗力は仕事をしない）。正しい。
オ: 自然の長さを過ぎてばねが伸びる間は、弾性力が運動と逆向きに働いて物体は減速し、運動エネルギーは減る。誤り。
カ: 重力による位置エネルギーは基準の高さのとり方で決まる。基準を水平面にとれば 0 だが、それ以外の高さにとれば 0 にならない。誤り。
よってア, ウ, エ。

この問題の確認

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