光子の運動量とコンプトン効果

光子が運動量 $p = \frac{h ν}{c} = \frac{h}{λ}$ をもつこと、X 線光子が電子と衝突するときにエネルギーと運動量が保存されること、散乱された X 線の波長が入射 X 線より長くなることについて、正しい記述を選べる

前提

光電効果と光子（高校物理原子（知識））
内力・外力と運動量保存の法則（高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））

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算数中学高校大学大学院

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説明

光は粒（光子）として、エネルギー $h ν$ だけでなく運動量 $p = \frac{h ν}{c} = \frac{h}{λ}$ ももつ。このことを使うと、X 線を物質に当てたとき、散乱された X 線の波長が入射 X 線より長くなる現象（コンプトン効果）を、光子と電子の「衝突」として説明できる。教科書の記述の正誤を判定するときは、運動量の式、保存則、波長が伸びる理由の 3 点を押さえておけばよい。

なぜそうしてよいのか

光が運動量をもつことは、光が当たった物体を押す力（光の圧力）から確かめられている。エネルギー $E$ を運ぶ光は、大きさ $\frac{E}{c}$ の運動量を運ぶ。光子 1 個のエネルギーは $E = h ν$ であり、波の関係 $c = ν λ$ も成り立つ。この 2 つを合わせると、光子 1 個の運動量は $p = \frac{h ν}{c} = \frac{h}{λ}$ となる。振動数が大きい（波長が短い）光子ほど運動量が大きい。

X 線光子が、静止したほぼ自由な電子に当たる場面を考える。光子と電子をひとまとまりの物体系とみると、はたらく力は互いに及ぼしあう内力だけであり、外力の力積は 0 である。したがって衝突の前後で運動量の和は保存される。運動量はベクトルなので、向きも含めて（成分ごとに）保存される。エネルギーの和も保存され、 $\frac{h c}{λ} = \frac{h c}{λ ^{'}} + \frac{1}{2} m v^{2}$ となる（ $λ^{'}$ は散乱 X 線の波長、 $m$ は電子の質量、 $v$ は衝突後の電子の速さ）。電子がはね飛ばされて運動エネルギーを得た分だけ、散乱後の光子のエネルギー $h ν^{'}$ は小さくなる。そのため $ν^{'} < ν$ 、つまり $λ^{'} > λ$ となる。光子の速さは衝突後も $c$ のままで、変わるのは振動数と波長である。2 つの保存則を連立して（近似を用いて）計算すると、 $λ^{'} - λ ≒ \frac{h}{m c} (1 - cos θ)$ が得られる（ $θ$ は X 線が曲げられた角）。この式の右辺は入射 X 線の波長によらず、散乱角が大きいほど波長の伸びも大きい。

光を単なる波と考えると、電子は入射波と同じ振動数で揺さぶられ、同じ振動数（同じ波長）の波を出すはずである。波長が伸びることは説明できない。光子を運動量とエネルギーをもつ粒として扱うと実験結果が説明できるので、コンプトン効果は光の粒子性を示す重要な証拠になっている。

手順

光子の運動量の式を確認する: $p = \frac{h ν}{c} = \frac{h}{λ}$ 。運動量は振動数に比例し、波長に反比例する。
衝突する物体系（X 線光子＋電子）を決め、外力がないので運動量の和がベクトルとして保存されることを確認する。
エネルギー保存を立てる: $\frac{h c}{λ} = \frac{h c}{λ ^{'}} + \frac{1}{2} m v^{2}$ 。電子が運動エネルギーを得る分、光子のエネルギーが減る。
結論を読み取る: 光子のエネルギーが減るので振動数が小さくなり、波長は長くなる（ $λ^{'} > λ$ ）。速さは $c$ のまま変わらない。
波長の伸びが散乱角で決まることを確認する: $λ^{'} - λ ≒ \frac{h}{m c} (1 - cos θ)$ 。角が大きいほど伸びが大きい。
選択肢を 1 つずつ、上の事実（運動量の式・保存則・波長が伸びる・光の粒子性の証拠）と照らし合わせて正誤を決める。

例題

X 線を物質に当て、物質中の電子によって散乱された X 線を調べた（コンプトン効果）。プランク定数を $h$ 、真空中の光の速さを $c$ とする。次の記述のうち正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　散乱された X 線の波長は、入射 X 線の波長より短くなる。
イ　X 線光子の運動量の大きさは、その振動数に反比例する。
ウ　光子と電子の衝突の前後で、運動量の和とエネルギーの和はともに保存され、電子が得た運動エネルギーの分だけ散乱 X 線の光子のエネルギーは小さくなる。
エ　散乱された X 線の速さは、電子にエネルギーを与えた分だけ $c$ より小さくなる。

例題の解答

手順 1（運動量の式）: $p = \frac{h ν}{c}$ なので、運動量は振動数に比例する。「反比例」とするイは誤り。
手順 2・3（保存則）: 光子と電子の系には外力がはたらかないので、運動量の和は保存される。エネルギーの和も保存され、 $\frac{h c}{λ} = \frac{h c}{λ ^{'}} + \frac{1}{2} m v^{2}$ となる。電子が得た運動エネルギーの分だけ光子のエネルギーが減るので、ウは正しい。
手順 4（結論）: 光子のエネルギー $h ν^{'}$ が減るので振動数が小さくなり、波長は長くなる。「短くなる」とするアは誤り。光子の速さは散乱後も $c$ のままで、エネルギーの減少は振動数の減少として現れる。速さが小さくなるとするエは誤り。
手順 6: 正しいものはウである。

答え:

ウ

よくある誤り

運動量を $p = hλ$ や $p = h ν$ としてしまう誤り。正しくは $p = \frac{h ν}{c} = \frac{h}{λ}$ で、波長が長いほど運動量は小さい。
電子と衝突した X 線の波長が短くなるとしてしまう誤り。正しくは、光子のエネルギーが $\frac{h c}{λ}$ から $\frac{h c}{λ ^{'}}$ へ減るので、 $λ^{'} > λ$ （波長は長くなる）。
エネルギーを失った光子は遅くなるとしてしまう誤り。正しくは、速さは $c$ のままで、振動数が $ν^{'} = \frac{c}{λ ^{'}} < ν$ と小さくなる。
斜めに散乱した場合に、運動量の大きさだけを $\frac{h}{λ} = \frac{h}{λ ^{'}} + m v$ と足してしまう誤り。正しくは運動量はベクトルとして保存されるので、入射方向の成分では $\frac{h}{λ} = \frac{h}{λ ^{'}} cos θ + m v cos ϕ$ 、垂直な方向の成分では $0 = \frac{h}{λ ^{'}} sin θ - m v sin ϕ$ のように、成分ごとに保存の式を立てる（ $ϕ$ は電子が飛ぶ向きと入射方向のなす角）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
波長 $λ$ の X 線を物質に当てたところ、X 線の光子 1 個が、物質中で静止しているとみなせる電子 1 個と衝突し、光子は進む向きを変えて散乱され、電子ははじき飛ばされた（コンプトン効果）。プランク定数を $h$ 、真空中の光の速さを $c$ とする。
この衝突について述べた文として正しいものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。
- ア　入射した X 線の光子は、大きさ $hλ$ の運動量をもつ。
- イ　光子と衝突したあとも、電子は静止したままである。
- ウ　衝突の前後で、光子と電子の運動量の和もエネルギーの和も保存される。
- エ　散乱された X 線の波長は、入射した X 線の波長 $λ$ よりも短い。
- オ　衝突の前後で、光子と電子の運動量の和は保存されるが、エネルギーの和は保存されない。

この技能を使う問題

	a	b
ア	短い	$\frac{h}{λ}$
イ	短い	$hλ$
ウ	長い	$\frac{h}{λ}$
エ	長い	$hλ$

この技能の次に学べること

物質波と電子線回折（高校物理原子（知識））