物質波と電子線回折

粒子のド・ブロイ波長 $λ = \frac{h}{m v}$ が速さや質量とともにどう変わるかを判断できる。電子線を結晶に当てると X 線と同じように回折による模様が現れることを、電子の波動性の証拠として選べる

前提

光子の運動量とコンプトン効果（高校物理原子（知識））
ホイヘンスの原理と反射・屈折・回折（高校物理波動（知識））

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算数中学高校大学大学院

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ホイヘンスの原理と反射・屈折・回折（高校物理波動（知識））

説明

光が波と粒子の両方の性質をもつように、電子などの粒子も波の性質をもちます。この波を物質波（ド・ブロイ波）といい、その波長（ド・ブロイ波長）は $λ = \frac{h}{m v}$ で決まります。この技能を身につけると、粒子の速さや質量が変わったときに波長が長くなるか短くなるかを判断できます。また、電子線を結晶に当てたときに現れる回折の模様が、電子が波であることの証拠になる理由を説明できます。

なぜそうしてよいのか

前提の技能で学んだように、光子は運動量 $p = \frac{h}{λ}$ をもちます。波だと思っていた光が、粒子としての運動量ももっていたわけです。ド・ブロイはこれを逆向きに考えました。粒子だと思っていた電子などにも波の性質があり、運動量 $p$ の粒子には、光子と同じ関係 $λ = \frac{h}{p}$ で決まる波長の波がともなう、という考えです。粒子の運動量は $p = m v$ なので、 $λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}$ となります（ $h$ はプランク定数 $6.6 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ ）。 $m$ と $v$ は分母にあるので、質量が大きいほど、また速いほど、波長は短くなります。速さを 2 倍にすると波長は $\frac{1}{2}$ 倍です。

$h$ はとても小さい値なので、ボールのような日常の物体ではド・ブロイ波長が極めて短くなります。たとえば質量 $0.15 kg$ のボールが $40 m/s$ で飛ぶと、 $λ \approx 1 \times 1 0^{- 34} m$ です。前提の技能のとおり、回折はすき間に比べて波長が長いほど目立つので、この波長では波の性質はまったく見えません。一方、電子は質量が非常に小さく（約 $9.1 \times 1 0^{- 31} kg$ ）、たとえば $100 V$ 程度の電圧で加速した電子の波長は約 $1 \times 1 0^{- 10} m$ になります。これは結晶の中で原子が並ぶ間隔と同じくらいの長さです。

X 線の波長も同じくらいの長さなので、X 線を結晶に当てると、規則正しく並んだ原子によって回折・干渉が起こり、斑点や環の模様が現れます。電子線を結晶（または薄い金属膜）に当てると、これと同じような回折の模様が実際に現れます（デビソンとガーマー、G.P.トムソンの実験）。回折や干渉は波にしか起こらない現象なので、この結果は電子が波の性質をもつ証拠になります。なお、コンプトン効果は X 線の「粒子性」の証拠であり、電子線回折は電子の「波動性」の証拠です。向きが逆であることに注意しましょう。

手順

粒子の運動量 $p = m v$ を確認し、ド・ブロイ波長の式 $λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}$ を書く。
質量 $m$ や速さ $v$ が何倍になるかを調べ、 $λ$ はそれに反比例して変わると判断する（ $m$ や $v$ が大きいほど $λ$ は短い）。
波の性質が観察できるかは、波長とすき間（結晶の原子の間隔など）の長さを比べて判断する。日常の物体は波長が極めて短いので、波の性質は観察できない（波長が 0 になるわけではない）。
現象がどちらの性質の証拠かを区別する。回折・干渉（電子線を結晶に当てて X 線と同様の模様が出る）は波動性の証拠であり、コンプトン効果や光電効果は光の粒子性の証拠である。

例題

物質波と電子線回折に関する記述として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　電子の速さを 2 倍にすると、電子のド・ブロイ波長は 2 倍になる。
イ　同じ速さで運動する電子と陽子では、陽子のほうがド・ブロイ波長が長い。
ウ　電子線を結晶に当てると、X 線を当てたときと同じように回折による模様が現れる。これは電子が波の性質をもつことを示している。
エ　野球のボールはド・ブロイ波長をもたないので、ボールの回折は観察されない。

例題の解答

手順 1：ド・ブロイ波長は $λ = \frac{h}{m v}$ である。
手順 2：ア　 $v$ を 2 倍にすると $λ = \frac{h}{m \cdot 2 v}$ となり、波長は $\frac{1}{2}$ 倍になる。2 倍ではないので誤り。
イ　速さが同じなら、 $λ$ は質量 $m$ に反比例する。陽子は電子よりはるかに質量が大きいので、陽子のほうが波長は短い。誤り。
手順 3：エ　ボールにも $λ = \frac{h}{m v}$ のド・ブロイ波長はある。ただし極めて短いため、回折が観察できないだけである。「もたない」としている点が誤り。
手順 4：ウ　回折は波に特有の現象である。電子線を結晶に当てると X 線と同じような回折の模様が現れることは、電子の波動性の証拠になる。正しい。
よって答えはウ。

答え:

ウ

よくある誤り

速いほど波長が長いと考え、 $λ \propto v$ としてしまう誤り。正しくは $λ = \frac{h}{m v}$ なので $λ$ は $v$ に反比例し、速さが 2 倍なら波長は $\frac{1}{2}$ 倍になる。
速さだけで波長が決まると考え、同じ速さなら電子も陽子も同じ波長としてしまう誤り。正しくは $λ = \frac{h}{m v}$ の分母に質量が入るので、質量の大きい陽子のほうが波長は短い。
日常の物体は物質波をもたないとしてしまう誤り。正しくは物質波をもつが、たとえば $m = 0.15 kg$ 、 $v = 40 m/s$ なら $λ = \frac{6.6 \times 1 0 ^{- 34}}{0.15 \times 40} \approx 1 \times 1 0^{- 34} m$ と極めて短く、回折が観察できないだけである。
電子線回折を電子の粒子性の証拠、またはコンプトン効果を X 線の波動性の証拠としてしまう誤り。正しくは、回折の模様が現れることは電子の波動性の証拠であり、コンプトン効果（X 線光子が運動量 $\frac{h}{λ}$ をもって電子と衝突する）は X 線の粒子性の証拠である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $m$ の粒子が速さ $v$ で運動しているとき、この粒子の物質波（ド・ブロイ波）の波長は $λ = \frac{h}{m v}$ と表される。ただし、 $h$ はプランク定数であり、粒子の速さは光の速さに比べて十分小さいものとする。物質波と電子線回折について述べた文として正しいものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。
- ア　電子の速さを 2 倍にすると、電子のド・ブロイ波長は 2 倍になる。
- イ　同じ速さで運動している電子と陽子では、陽子のほうがド・ブロイ波長が長い。
- ウ　運動量の大きさが等しい電子と陽子では、ド・ブロイ波長は等しい。
- エ　電子線を結晶に当てても、X 線を当てたときのような回折による模様は現れない。
- オ　電子線を結晶に当てたときに現れる回折の模様は、電子が粒子としての性質をもつことを示す証拠である。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ボーアの水素原子模型とエネルギー準位（高校物理原子（知識））