ボーアの水素原子模型とエネルギー準位

ボーアの模型について、正しい記述を選べる。対象は、量子条件、定常状態では電磁波を出さないこと、振動数条件 $h ν = E_{n} - E_{n^{'}}$ 、水素原子のエネルギー準位 $E_{n} \propto - \frac{1}{n ^{2}}$ （ $n$ が大きいほど高く、間隔は狭くなる）、線スペクトルの成り立ち

前提

ラザフォードの原子模型（高校物理原子（知識））
物質波と電子線回折（高校物理原子（知識））
光の散乱・偏光・スペクトル（高校物理波動（知識））

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光の散乱・偏光・スペクトル（高校物理波動（知識））

説明

ボーアの水素原子模型は、水素原子が決まった振動数の光だけを出す（線スペクトル）理由を説明する模型です。量子条件、定常状態、振動数条件 $h ν = E_{n} - E_{n^{'}}$ 、エネルギー準位 $E_{n} \propto - \frac{1}{n ^{2}}$ の 4 つを押さえると、原子のエネルギーと光の出入りについての記述の正誤を判断できます。原子の構造や原子のスペクトルを扱う選択問題で使います。

なぜそうしてよいのか

ラザフォードの模型では、電子は原子核のまわりを円運動します。円運動は加速度運動であり、従来の電磁気学では、加速度運動する電荷は電磁波を出し続けます。そうだとすると、電子はエネルギーを失って原子核に落ち込み、原子は安定に存在できません。また、出る光の振動数は連続的に変わるはずです。しかし実際の原子は安定で、水素は線スペクトルを出します。そこでボーアは、次の仮説を立てました。(1) 量子条件：電子は $m v r = n \frac{h}{2 π}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ 、 $m$ は電子の質量、 $v$ は速さ、 $r$ は軌道半径、 $h$ はプランク定数）を満たす、とびとびの軌道だけを回れる。(2) その軌道にいる間（定常状態）は、電子は円運動していても電磁波を出さない。(3) 電子がある定常状態から別の定常状態へ移る（遷移する）ときにだけ、エネルギーの差に等しいエネルギー $h ν$ をもつ光子を 1 個放出または吸収する。これが振動数条件 $h ν = E_{n} - E_{n^{'}}$ です。

量子条件は、物質波を使うと自然に理解できます。ド・ブロイ波長 $λ = \frac{h}{m v}$ を量子条件に代入すると $2 π r = nλ$ となります。つまり、軌道の 1 周の長さが電子の波の波長の整数倍になっていて、波が 1 周してちょうどつながる（定常波になる）軌道だけが許される、ということです。この条件とクーロン力による円運動から、軌道半径は $r_{n} \propto n^{2}$ 、エネルギーは $E_{n} = - \frac{13.6}{n ^{2}} eV$ （およその値）と求まります。エネルギーが負なのは、電子が原子核から無限に離れて静止した状態を 0 としていて、電子が原子核に束縛されているからです。 $n = 1$ がいちばん低い状態（基底状態）で、 $n ≧ 2$ は励起状態です。 $n$ が大きいほど $E_{n}$ は高くなって 0 に近づき、隣り合う準位の間隔は狭くなります。

エネルギー準位がとびとびなので、2 つの準位の差もとびとびの値しかとりません。そのため、出る光子の振動数 $ν = \frac{E _{n} - E _{n^{'}}}{h}$ も特定の値だけになり、スペクトルは線になります。行き先の準位ごとに線のまとまり（系列）ができます。 $n^{'} = 1$ へ移るものがライマン系列（紫外線）、 $n^{'} = 2$ へ移るものがバルマー系列（可視光を含む）、 $n^{'} = 3$ へ移るものがパッシェン系列（赤外線）です。

手順

記述が、量子条件・定常状態・振動数条件・エネルギー準位・線スペクトルのどれについてのものかを見分ける。
定常状態についての記述なら、「軌道上を回っている間は電磁波を出さない」ことと照らし合わせる。
量子条件についての記述なら、軌道は $m v r = n \frac{h}{2 π}$ （ $2 π r = nλ$ ）を満たすとびとびのものだけで、どんな半径でもよいわけではないことを確認する。
エネルギー準位についての記述なら、 $E_{n} = - \frac{13.6}{n ^{2}} eV$ をもとに、「値は負」「 $n$ が大きいほど高い」「間隔は狭くなる」「 $n = 1$ が基底状態」と照らし合わせる。
光の放出・吸収についての記述なら、 $h ν = E_{n} - E_{n^{'}}$ を使う。高い準位から低い準位へ移るときは放出、低い準位から高い準位へ移るときは吸収である。エネルギー差が大きいほど振動数は大きく、波長は短い。
スペクトルについての記述なら、準位がとびとびなのでエネルギー差もとびとびになり、線スペクトルになることと照らし合わせる。

例題

ボーアの水素原子模型に関する記述として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　定常状態にある電子は、原子核のまわりを円運動しているので、電磁波を出し続けている。
イ　水素原子のエネルギー準位は、量子数 $n$ が大きいほど低く、隣り合う準位の間隔は $n$ が大きいほど広い。
ウ　電子がエネルギー $E_{n}$ の定常状態から、より低いエネルギー $E_{n^{'}}$ の定常状態へ移るとき、振動数 $\frac{E _{n} - E _{n^{'}}}{h}$ の光子を 1 個放出する（ $h$ はプランク定数）。
エ　電子は原子核のまわりをどんな半径の円軌道でも回ることができるので、水素原子の出す光のスペクトルは連続スペクトルになる。

例題の解答

手順 1：アは定常状態、イはエネルギー準位、ウは振動数条件、エは量子条件とスペクトルについての記述である。
手順 2：ボーアの仮説では、定常状態の電子は円運動していても電磁波を出さない。よってアは誤り。
手順 4： $E_{n} = - \frac{13.6}{n ^{2}} eV$ より、 $E_{1} = - 13.6 eV$ 、 $E_{2} = - 3.4 eV$ なので、 $n$ が大きいほどエネルギーは高い。間隔も $E_{2} - E_{1} = 10.2 eV$ 、 $E_{3} - E_{2} ≒ 1.9 eV$ のように狭くなっていく。よってイは誤り。
手順 5：高い準位 $E_{n}$ から低い準位 $E_{n^{'}}$ へ移るときは光子を 1 個放出し、そのエネルギーは $h ν = E_{n} - E_{n^{'}}$ である。したがって $ν = \frac{E _{n} - E _{n^{'}}}{h}$ となり、ウは正しい。
手順 3・6：軌道は量子条件 $m v r = n \frac{h}{2 π}$ を満たすとびとびのものだけである。エネルギー準位もとびとびなので、スペクトルは線スペクトルになる。よってエは誤り。
以上より、正しいものはウである。

答え:

ウ

よくある誤り

$E_{n} = - \frac{13.6}{n ^{2}} eV$ の負号を見落として、「 $n$ が大きいほどエネルギーが低い」としてしまう誤り。正しくは $E_{1} = - 13.6 eV < E_{2} = - 3.4 eV$ のように、 $n$ が大きいほどエネルギーは高くなり、0 に近づく。
隣り合う準位の間隔が $n$ とともに広がるとしてしまう誤り。正しくは $E_{2} - E_{1} = 10.2 eV$ 、 $E_{3} - E_{2} ≒ 1.9 eV$ 、 $E_{4} - E_{3} ≒ 0.66 eV$ のように、 $n$ が大きいほど間隔は狭くなる。
出る光子のエネルギーを、移る前の準位のエネルギーそのものとして $h ν = E_{n}$ としてしまう誤り。正しくは 2 つの準位の差で $h ν = E_{n} - E_{n^{'}}$ である。また、高い準位から低い準位へ移るときが放出、低い準位から高い準位へ移るときが吸収であり、これを逆にしてはいけない。
円運動は加速度運動だから、定常状態の電子も電磁波を出すとしてしまう誤り。正しくは、ボーアの仮説では定常状態の電子は電磁波を出さない。光を出し入れするのは、準位の間を移るときだけである。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ボーアの水素原子模型について述べた次の文のうち、誤っているものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。ただし、 $n$ は量子数（ $n = 1, 2, 3, \dots$ の正の整数）、 $E_{n}$ は量子数 $n$ の定常状態にある水素原子のエネルギー、 $h$ はプランク定数とする。
- ア　電子が定常状態にあって原子核のまわりを回っている間は、原子は電磁波（光）を放出しない。
- イ　水素原子のエネルギー準位 $E_{n}$ は、量子数 $n$ が大きいほど高くなり、となり合う準位どうしの間隔は広くなる。
- ウ　電子がエネルギー $E_{n}$ の定常状態から、それより低いエネルギー $E_{n^{'}}$ の定常状態へ移るとき、振動数 $ν$ が $h ν = E_{n} - E_{n^{'}}$ を満たす光子を 1 個放出する。
- エ　水素原子が出す光のスペクトルが線スペクトルになるのは、水素原子のエネルギー準位がとびとびの値しかとらないためである。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

X 線の発生（連続 X 線と固有 X 線）（高校物理原子（知識））