ローレンツ力

磁場中を運動する荷電粒子が受けるローレンツ力 $f = q v B sin θ$ の向き（正負の電荷で逆）と、静止している粒子や磁場に平行に動く粒子は力を受けないこと、速度に垂直なので仕事をしないことを判定できる

前提

電流が磁場から受ける力（フレミングの左手の法則）（高校物理電磁気と交流（知識））
仕事の定義と正・負・0 （高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））

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仕事の定義と正・負・0 （高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））

説明

磁場の中を運動する荷電粒子（電気を帯びた粒子）は、磁場から力を受けます。この力を「ローレンツ力」といいます。この技能では、ローレンツ力の大きさ $f = q v B sin θ$ と向きを判定し、どんなときに力がはたらかないかを見分けます。また、ローレンツ力が粒子に仕事をしないことも判定できるようになります。電子や陽子が磁場の中を進む場面で使います。

なぜそうしてよいのか

電流は、導線の中を荷電粒子がそろって動くことで生じます。導線の断面積を $S$ 、単位体積あたりの粒子の数を $n$ 、1 個の粒子の電荷の大きさを $q$ 、速さを $v$ とします。時間 $t$ の間に、断面から長さ $v t$ までにある $n S v t$ 個の粒子が断面を通過するので、電流は $I = \frac{q n S v t}{t} = q n v S$ です。長さ $l$ の導線が受ける力 $F = I B l sin θ$ は、その中にある $n S l$ 個の粒子が受ける力の合計と考えられます。そこで 1 個あたりに分けると $f = \frac{I B l sin θ}{n S l} = \frac{q n v S B l sin θ}{n S l} = q v B sin θ$ となります。ここで $θ$ は速度の向きと磁場の向きのなす角です。

向きもフレミングの左手の法則から決まります。正の電荷が速度 $v$ の向きに動くことは、その向きに電流が流れることと同じです。一方、負の電荷（電子など）が $v$ の向きに動くときは、電流は逆向きに流れることになります。そのため、正負の電荷では力の向きが逆になります。また、式から次のことがわかります。静止している粒子は $v = 0$ なので $f = 0$ です。磁場に平行に動く粒子は $θ = 0^{\circ}$ または $18 0^{\circ}$ で、 $sin θ = 0$ なので $f = 0$ です。

フレミングの左手の法則で、力（親指）は電流（中指）に垂直です。したがって、ローレンツ力はいつも粒子の速度に垂直にはたらきます。粒子が進む向きと力のなす角は常に $9 0^{\circ}$ なので、 $W = f x cos 9 0^{\circ} = 0$ です。つまり、ローレンツ力は仕事をしません。速さを増やしたり減らしたりする向きの成分をもたず、運動の向きを曲げるだけの力です。

手順

電荷の正負、速度 $v$ 、磁場 $B$ と、 $v$ と $B$ のなす角 $θ$ を確認する。静止していれば（ $v = 0$ ）、力ははたらかない。
大きさを $f = q v B sin θ$ （ $q$ は電荷の大きさ）で求める。磁場に平行（ $θ = 0^{\circ}, 18 0^{\circ}$ ）なら $f = 0$ 、垂直（ $θ = 9 0^{\circ}$ ）なら最大値 $f = q v B$ になる。
正の電荷なら、速度の向きを電流の向き（中指）、磁場の向きを人差し指として、フレミングの左手の法則の親指の向きを力の向きとする。
負の電荷なら、手順 3 で求めた向きと逆向きを力の向きとする。
仕事を判定する。ローレンツ力は常に速度に垂直なので、 $W = f x cos 9 0^{\circ} = 0$ となり、仕事をしない。

例題

一様な磁場が鉛直上向きにかかっている空間で、荷電粒子が運動している。粒子にはたらく重力は無視する。ローレンツ力について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　磁場中で静止している正の荷電粒子は、磁場の向き（鉛直上向き）に力を受ける。
イ　磁場の向きに平行に運動する荷電粒子は、ローレンツ力を受けない。
ウ　水平に東向きに運動する電子が受けるローレンツ力の向きは、同じ速さで東向きに運動する陽子が受けるローレンツ力の向きと同じである。
エ　ローレンツ力は荷電粒子に正の仕事をして、粒子の速さを大きくする。

例題の解答

ア：手順 1 より、静止している粒子は $v = 0$ です。 $f = q v B sin θ = 0$ なので力を受けません。誤り。
イ：手順 2 より、磁場に平行な運動では $θ = 0^{\circ}$ または $18 0^{\circ}$ で $sin θ = 0$ です。よって $f = 0$ となり、力を受けません。正しい。
ウ：手順 3 で陽子（正の電荷）を考えます。中指を東向き（電流）、人差し指を鉛直上向き（磁場）に合わせると、親指は南を向きます。陽子が受ける力は南向きです。手順 4 より、電子（負の電荷）はその逆の北向きです。向きが逆なので誤り。
エ：手順 5 より、ローレンツ力は常に速度に垂直です。 $W = f x cos 9 0^{\circ} = 0$ で仕事をせず、速さを変えません。誤り。
よって正しいのはイです。

答え:

イ

よくある誤り

電子のような負の電荷でも、速度の向きをそのまま電流の向き（中指）としてフレミングの左手の法則を使ってしまう誤り。正しくは、負の電荷の速度の向きは電流と逆向きなので、力は正の電荷の場合と逆向きになる。
磁場の中にあれば静止している荷電粒子も力を受ける、としてしまう誤り。正しくは、 $v = 0$ なら $f = q v B sin θ = 0$ で、力を受けない。
磁場に平行に動く粒子も $f = q v B$ の力を受ける、としてしまう誤り。正しくは、 $θ = 0^{\circ}$ では $f = q v B sin 0^{\circ} = 0$ であり、 $f = q v B$ になるのは速度が磁場に垂直（ $θ = 9 0^{\circ}$ ）のときだけである。
ローレンツ力が仕事をして粒子を加速（速さを大きく）する、としてしまう誤り。正しくは、力は常に速度に垂直なので $W = f x cos 9 0^{\circ} = 0$ である。速さは変えず、運動の向きだけを変える。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
真空中に、磁束密度の大きさ $B$ の一様な磁場がある。この磁場の中を、正の電気量 $q$ をもつ荷電粒子が、磁場の向きに垂直な向きに速さ $v$ で運動している。粒子には磁場から受ける力以外の力ははたらかないものとする。
このとき粒子が磁場から受けるローレンツ力の大きさは（ a ）である。また、ローレンツ力の向きはつねに粒子の速度の向きと垂直なので、ローレンツ力は粒子に仕事を（ b ）。
文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして正しいものを、次の表のア〜エのうちから 1 つ選べ。
a b
ア $q v B$ する
イ $0$ しない
ウ $q v B$ しない
エ $0$ する

	a	b
ア	$q v B$	する
イ	$0$	しない
ウ	$q v B$	しない
エ	$0$	する

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

磁場中の荷電粒子の円運動（高校物理電磁気と交流（知識））
陰極線と電気素量（高校物理原子（知識））