磁場中の荷電粒子の円運動

磁場に垂直に入射した荷電粒子が等速円運動をすることを説明し、半径 $r = \frac{m v}{q B}$ と周期 $T = \frac{2 π m}{q B}$ から、速さ・質量・磁束密度を変えたときの半径・周期の変わり方を判定できる

前提

ローレンツ力（高校物理電磁気と交流（知識））
向心力（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））

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算数中学高校大学大学院

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慣性の法則と物体の運動（中学理科物理分野の用語と知識）
等速円運動の速度と加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
向心力（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））

説明

一様な磁場に対して垂直に入射した荷電粒子は、ローレンツ力を受けて等速円運動をします。この技能では、その円運動の半径 $r = \frac{m v}{q B}$ と周期 $T = \frac{2 π m}{q B}$ を、ローレンツ力と向心力の考え方から導きます。これを使うと、速さ・質量・電気量・磁束密度を変えたときに半径や周期がどう変わるかを判定できます。質量分析器やサイクロトロンのように、磁場で粒子の進路を曲げる装置を理解するときの基本になります。

なぜそうしてよいのか

磁束密度 $B$ の一様な磁場に垂直な向きに、電気量の大きさ $q$ 、質量 $m$ の粒子が速さ $v$ で入ると、粒子は大きさ $f = q v B$ のローレンツ力を受けます（ $θ = 9 0^{\circ}$ なので $sin θ = 1$ ）。この力はいつも速度に垂直なので仕事をしません。そのため運動エネルギーは変わらず、速さ $v$ は一定に保たれます。速さが一定なら力の大きさ $q v B$ も一定です。大きさが一定で、いつも速度に垂直な向きにはたらく力を受け続ける物体は、等速円運動をします。

このとき、ローレンツ力とは別に「向心力」という力が加わるわけではありません。ローレンツ力そのものが円の中心向きにはたらき、向心力の役割をしています。そこで、等速円運動の加速度 $\frac{v ^{2}}{r}$ を使って中心方向の運動方程式を立てると $m \frac{v ^{2}}{r} = q v B$ となり、これを解くと $r = \frac{m v}{q B}$ が得られます。

周期は、円周 $2 π r$ を速さ $v$ で一周する時間なので $T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π m}{q B}$ です。ここで $v$ が約分されて消えます。つまり速い粒子は大きな円を描きますが、そのぶん一周の道のりも長くなるため、一周にかかる時間は速さによらず同じになります。なお、回る向きは正電荷と負電荷とで逆になります（ローレンツ力の向きが逆だから）。

手順

速度が磁場に垂直かを確かめる。垂直なら等速円運動になる（磁場に平行に動く粒子は力を受けず、等速直線運動を続ける）。
ローレンツ力が向心力の役割をすることから、中心方向の運動方程式を立てる: $m \frac{v ^{2}}{r} = q v B$
運動方程式を $r$ について解き、半径を求める: $r = \frac{m v}{q B}$ （ $r$ は $m$ , $v$ に比例し、 $q$ , $B$ に反比例する）
一周の時間から周期を求める: $T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π m}{q B}$ （ $T$ は $v$ によらず、 $m$ に比例し、 $q$ , $B$ に反比例する）
問われている量（速さ・質量・磁束密度など）を変えたとき、比例・反比例の関係から半径と周期の変わり方を判定する。

例題

一様な磁場の中で、正の電荷をもつ粒子が磁場に垂直に入射し、等速円運動をしている。重力は無視する。磁束密度・粒子の質量・電気量はそのままにして、入射する速さだけを 2 倍にした。このときの円運動の半径と周期について、正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　半径は 2 倍になり、周期も 2 倍になる。
イ　半径は 2 倍になり、周期は変わらない。
ウ　半径は変わらず、周期は $\frac{1}{2}$ 倍になる。
エ　半径は $\frac{1}{2}$ 倍になり、周期は変わらない。

例題の解答

手順1: 粒子は磁場に垂直に入射しているので、ローレンツ力を受けて等速円運動をする。
手順2: ローレンツ力 $q v B$ が向心力の役割をするので、 $m \frac{v ^{2}}{r} = q v B$ 。
手順3: これを解くと $r = \frac{m v}{q B}$ 。 $m$ , $q$ , $B$ は変えないので、 $r$ は $v$ に比例する。速さを 2 倍にすると、半径は 2 倍になる。
手順4: 周期は $T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π m}{q B}$ で、 $v$ を含まない。したがって速さを変えても周期は変わらない。
手順5: 半径は 2 倍、周期は変わらないので、正しいのはイ。（速さが 2 倍になると一周の道のり $2 π r$ も 2 倍になるため、一周にかかる時間は同じになる。）

答え:

イ

よくある誤り

速くなれば一周が早く終わると考え、速さを 2 倍にすると周期が $\frac{1}{2}$ 倍になるとしてしまう誤り。正しくは $T = \frac{2 π m}{q B}$ で $v$ を含まないので、周期は速さによらず一定である（半径 $r = \frac{m v}{q B}$ が $v$ に比例して大きくなるため）。
ローレンツ力を受けると粒子が加速されて速さが増えるとしてしまう誤り。正しくは、ローレンツ力はいつも速度に垂直なので仕事をせず、速さ $v$ は一定のままで、向きだけが変わる。
向心力をローレンツ力とは別の力と考え、 $m \frac{v ^{2}}{r} = q v B + F_{向心}$ のように二重に数えてしまう誤り。正しくは、ローレンツ力そのものが向心力の役割をしており、 $m \frac{v ^{2}}{r} = q v B$ である。
磁場を強くすると大きく回ると考え、半径が $B$ に比例するとしてしまう誤り。正しくは $r = \frac{m v}{q B}$ なので、 $B$ を 2 倍にすると半径は $\frac{1}{2}$ 倍になる（周期 $T = \frac{2 π m}{q B}$ も $\frac{1}{2}$ 倍になる）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
真空中に一様な磁場がある。この磁場の中に、正の電荷をもつ粒子を入射させる。重力の影響は無視する。
磁場中の荷電粒子が受ける力と、その運動について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
- ア　ローレンツ力はつねに粒子の速度と同じ向きにはたらき、粒子の速さを大きくする。
- イ　粒子が磁場の向きと平行に運動しているときも、粒子は磁場からローレンツ力を受ける。
- ウ　ローレンツ力は粒子に仕事をしないので、粒子の運動エネルギーは変化しない。
- エ　磁場に垂直に入射した粒子が等速円運動をするとき、その周期は粒子の速さが大きいほど長くなる。

この技能を使う問題

難易度 4（国公立二次の標準レベル）
真空中の一様な磁場の中に、正の電荷をもつ粒子を、磁場の向きに垂直な向きに入射させたところ、粒子は磁場に垂直な平面内で等速円運動をした。次に、同じ粒子を同じ磁場の中に、同じく磁場に垂直な向きに、はじめの 2 倍の速さで入射させた。2 回目の円運動の半径と周期は、1 回目と比べてそれぞれどうなるか。最も適当なものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。ただし、粒子にはたらく重力は無視でき、粒子の速さは光速に比べて十分小さいものとする。
- ア　半径は 2 倍になり、周期も 2 倍になる。
- イ　半径は 2 倍になり、周期は変わらない。
- ウ　半径は $\frac{1}{2}$ 倍になり、周期も $\frac{1}{2}$ 倍になる。
- エ　半径は変わらず、周期は $\frac{1}{2}$ 倍になる。
- オ　半径は 4 倍になり、周期は 2 倍になる。