物体どうしの摩擦と一体化

板の上をすべる小物体のように物体間の摩擦が内力となる系で、運動量保存から一体となった後の速度を、力積から一体になるまでの時間を、動摩擦力の仕事から板に対してすべった距離を求められる

前提

運動量保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
摩擦がある場合のエネルギーの変化（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

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算数中学高校大学大学院

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力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
摩擦がある場合のエネルギーの変化（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

説明

なめらかな床に置いた板の上に小物体をすべり込ませると、板との間の動摩擦力で小物体は減速し、板は加速します。やがて両者の速度がそろい、一体となって動きます。この技能では、運動量保存から一体となった後の速度を、力積から一体になるまでの時間を、動摩擦力の仕事から板に対してすべった距離を求めます。台車の上をすべる物体や、箱の中をすべる物体など、物体どうしの摩擦が内力となる場面で広く使います。

なぜそうしてよいのか

小物体（質量 $m$ ）と板（質量 $M$ ）の間の動摩擦力は、作用反作用の関係にあります。大きさが等しく向きが逆で、はたらく時間も同じです。そのため、小物体が受ける力積と板が受ける力積は打ち消し合います。床がなめらかなら水平方向の外力はありません。したがって小物体と板をひとまとめにした系の運動量は保存し、 $m v_{0} + M \cdot 0 = (m + M) V$ から一体となった後の速度 $V$ が決まります。一体になるまでの時間 $t$ は、片方の物体だけに注目して求めます。小物体の運動量の変化は、小物体が受けた摩擦力の力積 $- μ^{'} m g t$ に等しくなります。

エネルギーは保存しません。小物体が床に対して $x_{1}$ 進む間、小物体には進行方向と逆向きの摩擦力 $μ^{'} m g$ がはたらき、その仕事は $- μ^{'} m g x_{1}$ です。同じ間に板は床に対して $x_{2}$ 進み、板には進行方向に摩擦力がはたらくので、その仕事は $+ μ^{'} m g x_{2}$ です。両者を足すと $- μ^{'} m g (x_{1} - x_{2})$ になります。 $x_{1} - x_{2}$ は、小物体が板に対してすべった距離 $L$ です。

つまり、系全体の運動エネルギーの変化は $- μ^{'} m g L$ に等しくなります。これは「摩擦がある場合のエネルギーの変化」の考え方を、2 物体の系に広げたものです。失われた運動エネルギーは、こすれ合いによって熱などに変わります。

手順

系を決め、外力を確かめる：小物体と板をひとまとめにし、水平方向の外力がない（床がなめらか）ことを確認する。小物体が板から受ける垂直抗力は $N = m g$ 、動摩擦力の大きさは $μ^{'} m g$ である。
運動量保存で一体後の速度を求める： $m v_{0} + M u_{0} = (m + M) V$ （板が初め静止なら $u_{0} = 0$ ）。
時間が必要なら、片方の物体の力積で求める：小物体について $mV - m v_{0} = - μ^{'} m g t$ より、 $t = \frac{v _{0} - V}{μ ^{'} g}$ 。
板に対してすべった距離は、系全体の運動エネルギーの変化で求める： $\frac{1}{2} (m + M) V^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = - μ^{'} m g L$ を $L$ について解く。

例題

なめらかな水平な床の上に、質量 $3.0 kg$ の十分に長い板が静止している。この板の左端に、質量 $1.0 kg$ の小物体を右向きに速さ $4.0 m/s$ ですべり込ませた。小物体と板の間の動摩擦係数を $0.20$ 、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とし、空気抵抗は無視する。小物体が板の上で止まる（板と一体となる）までに、板に対してすべった距離は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1：小物体と板を 1 つの系とみる。床はなめらかなので、水平方向の外力はない。動摩擦力の大きさは $μ^{'} m g = 0.20 \times 1.0 \times 9.8 = 1.96 N$ である。

手順2：右向きを正とし、一体後の速度を $V$ とする。運動量保存より $1.0 \times 4.0 + 3.0 \times 0 = (1.0 + 3.0) V$ なので、 $V = 1.0 m/s$ 。

手順4：運動エネルギーは、はじめ $\frac{1}{2} \times 1.0 \times 4. 0^{2} = 8.0 J$ 、一体後 $\frac{1}{2} \times 4.0 \times 1. 0^{2} = 2.0 J$ である。板に対してすべった距離を $L$ とすると、 $2.0 - 8.0 = - 1.96 L$ より $L = \frac{6.0}{1.96} \approx 3.06 m$ 。

（確認：手順3で時間を求めると $t = \frac{4.0 - 1.0}{0.20 \times 9.8} \approx 1.53 s$ 。この間に小物体は床に対して $\frac{4.0 + 1.0}{2} t$ 、板は $\frac{0 + 1.0}{2} t$ 進む。その差は $2.0 t \approx 3.06 m$ となり、結果が一致する。）

有効数字 2 桁で、 $3.1 m$ 。

答え: $3.1$

よくある誤り

系全体の運動エネルギーが保存するとして $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} (m + M) V^{2}$ と式を立ててしまう誤り。動摩擦力がはたらくので運動エネルギーは減る。正しくは、運動量保存 $m v_{0} = (m + M) V$ で $V$ を求め、エネルギーは $\frac{1}{2} (m + M) V^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = - μ^{'} m g L$ の関係で扱う。
エネルギーの式の距離に、小物体が床に対して動いた距離 $x_{1}$ を使ってしまう誤り。系全体の仕事は $- μ^{'} m g x_{1} + μ^{'} m g x_{2}$ である。正しくは、板に対する距離 $L = x_{1} - x_{2}$ を使い、 $- μ^{'} m g L$ とする。
摩擦力を求めるときの垂直抗力を、板と小物体を合わせた重さ $(m + M) g$ としてしまう誤り。摩擦は小物体と板の接触面ではたらく。その面を押し合う力は小物体の重さ分なので、正しくは $N = m g$ 、動摩擦力は $μ^{'} m g$ 。
一体になるまでの時間を、系全体の力積から求めようとしてしまう誤り。内力の力積は打ち消し合って $0$ になるので、時間は決まらない。正しくは、小物体だけ（または板だけ）に注目し、 $mV - m v_{0} = - μ^{'} m g t$ （板なら $M V - 0 = μ^{'} m g t$ ）から求める。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
なめらかな水平面上に、質量 $2.0 kg$ の板が静止している。板の上面は水平で粗い。板の左端に質量 $1.0 kg$ の小物体を乗せ、小物体だけに右向きの速さ $6.0 m/s$ を瞬間的に与えたところ、小物体は板の上をすべり、やがて板と一体となって運動した。小物体は板から落ちなかった。小物体と板の上面の間の動摩擦係数を $0.40$ 、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とし、空気抵抗は無視する。小物体に速さを与えてから、小物体と板が一体となるまでの時間は何 s か。有効数字 2 桁で求めよ。
$2.0 kg$ $1.0 kg$ $6.0 m/s$
速さを与えた直後のようす