途中で質量・速さが変わる単振動の振幅

単振動の途中で物体が合体・分裂・衝突したとき、運動量保存則で直後の速さを求め、新しい質量での角振動数と $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{'2}$ から、その後の単振動の振幅 $A^{'}$ や周期を求められる

前提

単振動のエネルギー（高校物理円運動・単振動・万有引力）
運動量保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

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算数中学高校大学大学院

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運動量保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

説明

ばね振り子が振動している途中で、物体に別の物体がくっついたり（合体）、一部が離れたり（分裂）、ぶつかったりすると、その後の振動の振幅や周期が変わります。この技能を使うと、衝突の瞬間には運動量保存則で直後の速さを求め、衝突の後は新しい質量で単振動のエネルギーの式を立てて、新しい振幅 $A^{'}$ や周期 $T^{'}$ を求められます。粘土の付着、物体の分裂、振動中の物体への衝突などの問題で使います。

なぜそうしてよいのか

合体や衝突は一瞬で終わるので、その間に物体はほとんど動きません。そのため、衝突の直前と直後で位置（変位 $x$ ）は同じとみなせます。また、ばねの力は有限の大きさしかないので、一瞬の間にばねが与える力積は無視できます。水平方向にほかの外力がなければ、衝突の前後で運動量が保存されます。ただし、合体では運動エネルギーが熱などに変わって減るのが普通です。そのため、衝突の前後をつなぐのはエネルギーではなく運動量です。

衝突が終わると、物体（質量 $M^{'}$ ）は同じばね（ばね定数 $k$ ）につながれたまま、再び単振動をします。質量が変わったので角振動数は $ω^{'} = \frac{k}{M ^{'}}$ 、周期は $T^{'} = 2 π \frac{M ^{'}}{k}$ に変わります。衝突の後は力学的エネルギーが保存されます。そこで、衝突直後の速さ $V$ と変位 $x^{'}$ を使って $\frac{1}{2} M^{'} V^{2} + \frac{1}{2} k x^{'2} = \frac{1}{2} k A^{'2}$ と書けます。右辺は、速さが $0$ になる振動の端（ $x^{'} = \pm A^{'}$ ）でのエネルギーです。こうして新しい振幅 $A^{'}$ が求まります。

注意が必要なのは、振動の中心です。振動の中心は、物体にはたらく力がつり合う位置です。水平なばねでは、つり合いの位置はばねが自然の長さになる位置です。この位置は質量によらないので、衝突の後も中心は変わりません。一方、鉛直につるしたばねでは、つり合いの位置がばねの伸び $\frac{M ^{'} g}{k}$ の位置になります。質量が変わると中心もずれるので、 $x^{'}$ は新しい中心から測り直す必要があります。

手順

衝突直前の速さを、元の質量 $m$ と元の振幅 $A$ から求める： $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$ より $v = \frac{k}{m} A^{2} - x^{2}$
衝突の瞬間に運動量保存則を使い、直後の速度 $V$ を求める（位置は変わらないとする）： $m v + m_{2} v_{2} = (m + m_{2}) V$ （合体の場合）
衝突後の振動の中心を決め、衝突位置の新しい中心からの変位 $x^{'}$ を求める。水平ばねなら中心は変わらず $x^{'} = x$ 。鉛直ばねなら中心が $\frac{Δ m g}{k}$ だけずれる（ $Δ m$ は増えた質量）ので測り直す
新しい質量 $M^{'}$ で単振動のエネルギーの式を立て、 $A^{'}$ を求める： $\frac{1}{2} M^{'} V^{2} + \frac{1}{2} k x^{'2} = \frac{1}{2} k A^{'2}$
周期が必要なら、新しい質量で計算する： $T^{'} = 2 π \frac{M ^{'}}{k}$

例題

滑らかな水平面上に、ばね定数 $k$ の軽いばねを水平に置き、一端を壁に固定する。他端に質量 $m$ の小物体 P を取りつけると、P はばねの伸び縮みする向き（水平方向）に振幅 $A$ で単振動をしている。P が、ばねが自然の長さから $\frac{A}{2}$ だけ伸びた位置を通過する瞬間に、真上から落ちてきた質量 $m$ の粘土 Q が P に付着し、P と Q は一体となった。付着する直前の Q の速度の水平成分は $0$ である。付着は一瞬で起こり、その間の P の位置の変化は無視できる。空気抵抗は無視する。付着後の単振動の振幅を、 $A$ を用いて求めよ。

例題の解答

振動の中心（ばねが自然の長さの位置）からの変位を $x$ とする。

【手順1】付着直前の P の速さ $v$ を求める。 $x = \frac{A}{2}$ でのエネルギーの式は $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k (\frac{A}{2})^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$ である。これより $v^{2} = \frac{k}{m} \cdot \frac{3}{4} A^{2}$ となる。

【手順2】付着の瞬間について考える。床からの垂直抗力と重力は鉛直方向の力なので、水平方向の運動量は変わらない。ばねの力による力積も一瞬なので無視できる。よって水平方向の運動量が保存され、 $m v + m \cdot 0 = (m + m) V$ から $V = \frac{v}{2}$ となる。したがって $V^{2} = \frac{v ^{2}}{4} = \frac{k}{m} \cdot \frac{3}{16} A^{2}$ である。

【手順3】ばねは水平なので、振動の中心は自然の長さの位置のままである。位置は変わらないので、付着直後の変位は $x^{'} = \frac{A}{2}$ である。

【手順4】新しい質量 $2 m$ でエネルギーの式を立てる。
$\frac{1}{2} (2 m) V^{2} + \frac{1}{2} k (\frac{A}{2})^{2} = \frac{1}{2} k A^{'2}$
左辺第1項は $\frac{1}{2} \cdot 2 m \cdot \frac{k}{m} \cdot \frac{3}{16} A^{2} = \frac{3}{16} k A^{2}$ 、第2項は $\frac{1}{8} k A^{2} = \frac{2}{16} k A^{2}$ である。よって $\frac{5}{16} k A^{2} = \frac{1}{2} k A^{'2}$ となり、 $A^{'2} = \frac{5}{8} A^{2}$ である。 $A^{'} > 0$ より
$A^{'} = \frac{5}{8} A = \frac{10}{4} A$
（参考：手順5を使うと、周期は $2 π \frac{2 m}{k}$ に変わる。）

答え: $\frac{10}{4} A$

よくある誤り

衝突の前後で運動エネルギーが保存されるとして $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} (2 m) V^{2}$ としてしまう誤り。合体では運動エネルギーが減る。正しくは運動量保存則 $m v = (2 m) V$ から $V = \frac{v}{2}$ を求める。
衝突後の振幅を求めるときに、元の質量のまま $\frac{1}{2} m V^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{'2}$ としたり、角振動数を $\frac{k}{m}$ のままにしたりしてしまう誤り。正しくは、合体後の質量 $M^{'} = 2 m$ を使って $\frac{1}{2} (2 m) V^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{'2}$ 、 $ω^{'} = \frac{k}{2 m}$ とする。
衝突の瞬間から振動をやり直すと考えて、衝突位置を新しい中心とみなし $\frac{1}{2} M^{'} V^{2} = \frac{1}{2} k A^{'2}$ （ $x^{'} = 0$ ）としてしまう誤り。正しくは、衝突は一瞬なので位置は変わらず、中心からの変位 $x^{'}$ （水平ばねなら $x^{'} = x$ ）を残して $\frac{1}{2} M^{'} V^{2} + \frac{1}{2} k x^{'2} = \frac{1}{2} k A^{'2}$ とする。
鉛直につるしたばねで、質量が $Δ m$ 増えても振動の中心が変わらないとして、元の中心からの変位をそのまま使ってしまう誤り。正しくは、つり合いの位置が $\frac{Δ m g}{k}$ だけ下にずれる。そのため、新しい中心からの変位 $x^{'}$ を測り直して $\frac{1}{2} M^{'} V^{2} + \frac{1}{2} k x^{'2} = \frac{1}{2} k A^{'2}$ を使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 4（国公立二次の標準レベル）
なめらかな水平な床の上に、ばね定数 $k$ の軽いばねを水平に置き、その左端を鉛直な壁に固定し、右端に質量 $M$ の物体 $P$ を取り付ける。ばねが自然の長さのときの $P$ の位置を $O$ とし、 $O$ を原点として壁から遠ざかる向き（右向き）を $x$ 軸の正の向きとする。 $P$ は $x$ 軸上を振幅 $A$ で単振動している。
$P$ が $x = \frac{A}{2}$ の位置を右向きに通過する瞬間に、 $P$ の真上のわずかな高さから静かにはなした質量 $m$ の粘土 $Q$ が $P$ の上面に落ち、すぐに $P$ と一体になった。その後、 $P$ と $Q$ は一体となって $x$ 軸上を単振動した。
粘土 $Q$ が $P$ に落ちる直前の $Q$ の速度は鉛直下向きで、水平方向の成分は $0$ とする。 $Q$ が $P$ と一体になるまでの時間はきわめて短く、そのあいだの $P$ の位置の変化は無視できるものとする。 $P$ や $Q$ の大きさ、空気抵抗は無視する。
一体となったあとの単振動の振幅を、 $A$ , $M$ , $m$ を用いて表せ。
$O$ P $A /2$ Q