円運動・単振動・万有引力の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理円運動・単振動・万有引力

なめらかな水平な床の上に、ばね定数 $50 N/m$ の軽いばねを水平に置き、その左端を鉛直な壁に固定し、右端に質量 $0.50 kg$ の物体 $P$ を取り付ける。ばねが自然の長さのときの $P$ の位置を点 $O$ とする。 $P$ はばねの方向（水平方向）にだけ動き、 $O$ を中心として振幅 $0.14 m$ の単振動をしている。

$P$ が $O$ から右へ $0.020 m$ の位置を右向きに通過する瞬間に、質量 $0.50 kg$ の物体 $Q$ を $P$ の真上から静かにのせた（ $Q$ の水平方向の速さは $0$ ）。 $Q$ は瞬時に $P$ と一体となり、その後 $P$ と $Q$ はすべることなく一体となって $O$ を中心とする単振動をした。のせるのにかかる時間はきわめて短く、そのあいだにばねが $P$ に与える力積は無視できるものとする。空気抵抗は無視し、物体の大きさは考えなくてよい。

その後の単振動の振幅は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。

OPQ右向き

0.020 m

図は正確とは限りません

この問題で使うもの

途中で質量・速さが変わる単振動の振幅（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（66 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「途中で質量・速さが変わる単振動の振幅」の技能を使う。まず単振動のエネルギーでのせる直前の速さを求め、次に運動量保存則で一体となった直後の速さを求め、最後に新しい質量で単振動のエネルギーの式を立てる。

ヒント 2

Q の水平方向の速さは 0 なので、水平方向の運動量保存は $m v = (m + m) v^{'}$ 。その後は $\frac{1}{2} (2 m) v^{'2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{'2}$ を使う。振動の中心は O のまま。

ヒント 3

のせる直前は $v^{2} = \frac{50}{0.50} \times (0.1 4^{2} - 0.02 0^{2}) = 1.92$ 、直後は $v^{'2} = \frac{1.92}{4} = 0.48$ となる。これと $x = 0.020 m$ を新しいエネルギーの式に代入する。

答えと解説

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0.10

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解説を読む

ばね定数を $k = 50 N/m$ 、 $P$ と $Q$ の質量をそれぞれ $m = 0.50 kg$ 、はじめの振幅を $A = 0.14 m$ 、 $Q$ をのせた位置を $x = 0.020 m$ とする。

手順 1: のせる直前の $P$ の速さ

床はなめらかで、仕事をするのはばねの弾性力（保存力）だけなので、単振動のエネルギーが保存される。
$\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$
より
$v^{2} = \frac{k}{m} (A^{2} - x^{2}) = \frac{50}{0.50} \times (0.1 4^{2} - 0.02 0^{2}) = 100 \times (0.0196 - 0.0004) = 1.92$

手順 2: 運動量保存則で直後の速さを求める

$Q$ をのせるあいだ、水平方向の外力はばねの弾性力だけで、その力積は無視できる（床からの垂直抗力・重力は鉛直方向）。よって $P$ と $Q$ の水平方向の運動量の和は保存される。 $Q$ の水平方向の速さは $0$ なので、一体となった直後の速さを $v^{'}$ とすると
$m v + m \times 0 = (m + m) v^{'} より v^{'} = \frac{v}{2}$
したがって
$v^{'2} = \frac{v ^{2}}{4} = \frac{1.92}{4} = 0.48$
この瞬間の位置は変わらず $x = 0.020 m$ である。

手順 3: 新しい単振動のエネルギーの式から振幅を求める

ばねは水平なので、質量が変わっても振動の中心は自然の長さの位置 $O$ のままである。質量 $2 m = 1.0 kg$ の物体の新しい振幅を $A^{'}$ とすると
$\frac{1}{2} (2 m) v^{'2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{'2}$
左辺を計算すると
$\frac{1}{2} \times 1.0 \times 0.48 + \frac{1}{2} \times 50 \times 0.02 0^{2} = 0.24 + 0.010 = 0.25 J$
よって
$\frac{1}{2} \times 50 \times A^{'2} = 0.25 より A^{'2} = 0.010$
$A^{'} = 0.10 m$

答えは $0.10 m$ である。

別解

Pの単振動で、位置 $x = 0.020 m$ での速さ $v$ は、力学的エネルギー保存より
$\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$
$v^{2} = \frac{k}{m} (A^{2} - x^{2}) = 100 \times (0.1 4^{2} - 0.02 0^{2}) = 100 \times (0.0196 - 0.0004) = 1.92 m^{2} / s^{2}$

Qをのせる間、ばねの力積は無視できるので、水平方向の運動量が保存される。
$0.50 v = (0.50 + 0.50) v^{'}$ より $v^{'} = v /2$ 、よって $v^{'2} = 0.48 m^{2} / s^{2}$ 。

のせた直後の位置は $x = 0.020 m$ のまま。この瞬間の力学的エネルギーは
$\frac{1}{2} (1.0) (0.48) + \frac{1}{2} (50) (0.020)^{2} = 0.24 + 0.010 = 0.25 J$

新しい振幅 $A^{'}$ は $\frac{1}{2} k A^{'2} = 0.25$ から
$A^{'2} = \frac{0.50}{50} = 0.010$ 、よって $A^{'} = 0.10 m$ 。

検算： $A^{'2} = x^{2} + v^{'2} / ω^{'2}$ 、 $ω^{'2} = k / (2 m) = 50$ より $0.0004 + 0.48/50 = 0.0004 + 0.0096 = 0.010$ で一致する。

答え： $0.10 m$

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