ばね振り子の周期と振動の中心

水平・鉛直のばね振り子（2 本のばねにつながれた場合を含む）で、つり合いの位置を振動の中心として復元力 $F = - K x$ の $K$ を求め、周期 $T = 2 π \frac{m}{K}$ を求められる

前提

単振動の変位・速度・加速度の式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
復元力と単振動の周期（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）

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算数中学高校大学大学院

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説明

ばねにつながれた物体が往復運動するとき、その運動の中心がどこか（振動の中心）と、1往復にかかる時間（周期）を求める方法を学びます。水平な床の上のばね振り子だけでなく、天井からつるした鉛直のばね振り子や、物体が2本のばねにはさまれた場合にも使えます。手順は、つり合いの位置を中心に選び、そこからのずれ $x$ に対して合力が $F = - K x$ の形になることを示して $K$ を読み取り、 $T = 2 π \frac{m}{K}$ に代入する、というものです。

なぜそうしてよいのか

物体にはたらく合力が、ある点からの変位 $x$ を使って $F = - K x$ （ $K > 0$ の定数）と書ければ、運動方程式は $ma = - K x$ になります。これは単振動の加速度 $a = - ω^{2} x$ と同じ形なので、 $ω^{2} = \frac{K}{m}$ となり、周期は $T = \frac{2 π}{ω} = 2 π \frac{m}{K}$ です。このとき $x = 0$ の点、つまり合力が $0$ になる点が振動の中心です。合力が $0$ の点とは「つり合いの位置」のことなので、振動の中心はつり合いの位置になります。

鉛直につるしたばね（ばね定数 $k$ ）で確かめます。下向きを正とし、つり合いのときの伸びを $d$ とすると $m g - k d = 0$ 、つまり $d = \frac{m g}{k}$ です。つり合いの位置から下へ $x$ ずれると伸びは $d + x$ になり、合力は $F = m g - k (d + x) = (m g - k d) - k x = - k x$ です。つり合いの式を使うと重力 $m g$ とばねの力の一部 $k d$ が打ち消し合い、残るのは $- k x$ だけになります。重力は振動の中心を自然長の位置から $\frac{m g}{k}$ だけ下にずらすだけで、 $K = k$ は変わりません。そのため周期は水平の場合と同じ $2 π \frac{m}{k}$ です。

ばねが2本あるときも同じ考え方で求められます。物体が $x$ ずれると、どちらのばねの力も「ずれを戻す向き」にそれぞれ $k_{1} x$ 、 $k_{2} x$ ずつ変化します（フックの法則で、伸びの変化に比例して力が変化するため）。つり合いで打ち消し合う定数の部分を除くと、残る合力は $- (k_{1} + k_{2}) x$ となり、 $K = k_{1} + k_{2}$ です。物体の両側にばねがあっても、上下にあっても、2本とも物体を元の位置に戻す向きにはたらくので、 $K$ はばね定数の和になります。

手順

物体にはたらく力（ばねの弾性力・重力など）をすべて書き出し、つり合いの位置での力のつり合いの式を立てる。この位置が振動の中心になる。
つり合いの位置を原点にし、正の向きを決めて、そこからの変位を $x$ とおく。
変位 $x$ のときの各ばねの伸び（縮み）を書き、物体にはたらく合力 $F$ を $x$ で表す。
手順1のつり合いの式を使って定数の項を消し、 $F = - K x$ の形にして $K$ を読み取る。
$T = 2 π \frac{m}{K}$ に代入して周期を求める。

例題

天井に上端を固定したばね定数 $k$ の軽いばね A の下端に、質量 $m$ の小球をつける。さらに、小球の下側に、下端を床に固定したばね定数 $2 k$ の軽いばね B の上端をつける。ばね A、ばね B、小球は同じ鉛直線上にあり、小球はこの鉛直線上だけを運動する。小球をつり合いの位置から少しずらして静かにはなすと、小球は単振動をした。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。この単振動の周期を $m$ , $k$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順1（つり合いの式）：下向きを正とする。つり合いの位置で、ばね A の伸びを $a$ 、ばね B の伸びを $b$ とする（ $b$ が負なら、B は縮んでいることを表す）。小球にはたらく力は、重力 $m g$ （下向き）、A の弾性力 $k a$ （上向き）、B の弾性力 $2 k b$ （下向き。B が伸びていれば、小球を床側へ引くため）である。つり合いの式は $m g + 2 k b - k a = 0$ 。

手順2（変位をおく）：つり合いの位置を原点とし、そこから下向きに $x$ ずれた位置を考える。

手順3（合力を $x$ で表す）：小球が下へ $x$ 動くと、A の伸びは $a + x$ 、B の伸びは $b - x$ になる。下向きを正とした合力は
$F = m g + 2 k (b - x) - k (a + x) = (m g + 2 k b - k a) - 3 k x$

手順4（ $K$ を読み取る）：手順1より $m g + 2 k b - k a = 0$ なので、 $F = - 3 k x$ 。よって $K = 3 k$ 。重力は打ち消されて $K$ には入らない。

手順5（周期）： $T = 2 π \frac{m}{K} = 2 π \frac{m}{3 k}$ 。

答え: $2 π \frac{m}{3 k}$

よくある誤り

鉛直のばね振り子では重力の分だけ周期が変わると考え、 $T$ の式に $g$ を入れてしまう誤り。正しくは、つり合いの式 $m g - k d = 0$ によって重力が打ち消され、 $F = - k x$ となるので $T = 2 π \frac{m}{k}$ です。 $g$ は振動の中心の位置（自然長から $\frac{m g}{k}$ 下）にだけ影響します。
振動の中心を、ばねが自然長になる位置としてしまう誤り。正しくは、合力が $0$ になるつり合いの位置が中心です。鉛直につるしたばねなら、自然長の位置から $d = \frac{m g}{k}$ だけ下が振動の中心で、振幅もこの点から測ります。
物体の両側（または上下）に2本のばねがあるとき、片方は伸びて片方は縮むからと考えて $K = k_{1} - k_{2}$ としたり、 $\frac{1}{K} = \frac{1}{k _{1}} + \frac{1}{k _{2}}$ としたりする誤り。正しくは、物体が $x$ ずれると2本とも物体を戻す向きに力が $k_{1} x$ 、 $k_{2} x$ ずつ変化するので、 $K = k_{1} + k_{2}$ です（ $\frac{1}{K} = \frac{1}{k _{1}} + \frac{1}{k _{2}}$ となるのは、2本のばねを端どうしでつないで1本にした場合です）。
2本のばねの場合に、各ばねの力を自然長からの伸びで書いた式に、そのまま $F = - K x$ を当てはめてしまう誤り（例： $F = - k_{1} x - k_{2} x + m g$ のまま周期を求める）。正しくは、まずつり合いの位置を原点にとり、つり合いの式を使って定数の項を消してから $K$ を読み取ります。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

単振動のエネルギー（高校物理円運動・単振動・万有引力）
単振動の位相と経過時間（高校物理円運動・単振動・万有引力）
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2 原子分子の振動準位と同位体効果（大学物理原子・分子物理とレーザー）
調和振動子のエネルギー準位（大学化学量子化学）