円運動・単振動・万有引力の問題

なめらかな水平な床の上に、ばね定数 $k$ の軽いばねを水平に置き、その左端を鉛直な壁に固定し、右端に質量 $M$ の物体 $\mathrm{P}$ を取り付ける。ばねが自然の長さのときの $\mathrm{P}$ の位置を $\mathrm{O}$ とし、$\mathrm{O}$ を原点として壁から遠ざかる向き（右向き）を $x$ 軸の正の向きとする。$\mathrm{P}$ は $x$ 軸上を振幅 $A$ で単振動している。

$\mathrm{P}$ が $x=\frac{A}{2}$ の位置を右向きに通過する瞬間に、$\mathrm{P}$ の真上のわずかな高さから静かにはなした質量 $m$ の粘土 $\mathrm{Q}$ が $\mathrm{P}$ の上面に落ち、すぐに $\mathrm{P}$ と一体になった。その後、$\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ は一体となって $x$ 軸上を単振動した。

粘土 $\mathrm{Q}$ が $\mathrm{P}$ に落ちる直前の $\mathrm{Q}$ の速度は鉛直下向きで、水平方向の成分は $0$ とする。$\mathrm{Q}$ が $\mathrm{P}$ と一体になるまでの時間はきわめて短く、そのあいだの $\mathrm{P}$ の位置の変化は無視できるものとする。$\mathrm{P}$ や $\mathrm{Q}$ の大きさ、空気抵抗は無視する。

一体となったあとの単振動の振幅を、$A$, $M$, $m$ を用いて表せ。

水平な床の上に、ばね定数 $k$ の軽いばねを鉛直に立て、下端を床に固定する。ばねの上端には質量の無視できる薄い板が取り付けてあり、ばねは自然の長さになっている。

板の真上、板から高さ $h$ の位置から、質量 $m$ の小球を静かにはなした。小球は板に当たったあと、板から離れずにばねを縮めながら運動した。小球が板に接しているあいだ、小球は単振動の一部の運動をする。ばねの縮みの最大値を、$m$, $g$, $h$, $k$ を用いて表せ。

ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗と小球の大きさは無視する。小球と板の衝突でエネルギーは失われず、ばねは鉛直方向にだけ伸び縮みするものとする。

なめらかな水平面の上に、軽いばねを水平に置いて左端を鉛直な壁に固定し、右端に小物体を取り付ける。ばねが自然の長さのときの小物体の位置を $\mathrm{O}$ とする。小物体は、$\mathrm{O}$ を中心とし、ばねの方向に振幅 $A$ で単振動している。

小物体の運動エネルギーと、ばねの弾性エネルギーが等しくなるときの、小物体の $\mathrm{O}$ からの距離を $A$ を用いて表せ。ただし、空気抵抗は無視する。

なめらかな水平面の上で、ばね定数 $50\text{N/m}$ の軽いばねの左端を鉛直な壁に固定し、右端に質量 $0.50\text{kg}$ の物体を取り付けた。ばねが自然の長さのときの物体の位置を $\mathrm{O}$ とする。物体を $\mathrm{O}$ から右向きに $0.20\text{m}$ だけ引いて静かにはなすと、物体はばねの伸び縮みする方向に単振動をした。

物体が $\mathrm{O}$ から $0.12\text{m}$ の位置を通過するときの物体の速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、空気抵抗は無視する。

鉛直な回転軸に、細くてなめらかな棒が水平に取り付けられており、棒は回転軸のまわりに水平面内で回転できる。棒には、質量 $m$ の小球 $\mathrm{A}$ と、質量 $m$ の小球 $\mathrm{B}$ が通してあり、どちらも棒にそってなめらかに動ける。回転軸と $\mathrm{A}$ は、ばね定数 $k$、自然の長さ $l$ の軽いばね 1 でつながれ、$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ は、ばね定数 $k$、自然の長さ $l$ の軽いばね 2 でつながれている。$\mathrm{B}$ は $\mathrm{A}$ より回転軸から遠い側にある。

棒を一定の角速度 $\omega =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}$ で回転させたところ、2 つのばねの長さが一定のまま、$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ は棒とともに等速円運動をした。このときの、回転軸から $\mathrm{B}$ までの距離を $l$ を用いて表せ。ただし、小球の大きさとばねの質量は無視し、ばねは棒にそって伸び縮みするものとする。