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円運動・単振動・万有引力の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理円運動・単振動・万有引力

水平な床の上に、ばね定数 $k$ の軽いばねを鉛直に立て、下端を床に固定する。ばねの上端には質量の無視できる薄い板が取り付けてあり、ばねは自然の長さになっている。

板の真上、板から高さ $h$ の位置から、質量 $m$ の小球を静かにはなした。小球は板に当たったあと、板から離れずにばねを縮めながら運動した。小球が板に接しているあいだ、小球は単振動の一部の運動をする。ばねの縮みの最大値を、 $m$ , $g$ , $h$ , $k$ を用いて表せ。

ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗と小球の大きさは無視する。小球と板の衝突でエネルギーは失われず、ばねは鉛直方向にだけ伸び縮みするものとする。

m

h

k

小球をはなした位置（ばねは自然の長さ）

この問題で使うもの

力学的エネルギー保存則（説明と入口の問題）
ばね振り子の周期と振動の中心（説明と入口の問題）
単振動のエネルギー（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（62 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

板に当たるまでは自由落下、当たってからはつりあいの位置を中心とする単振動として考えよう。

ヒント 2

つりあいの位置の縮みは $x_{0} = \frac{m g}{k}$ 。つりあいの位置からの変位 $X$ を使うと、運動エネルギーと $\frac{1}{2} k X^{2}$ の和が保存する。

ヒント 3

板に当たった瞬間は $X = - x_{0}$ 、速さ $2 g h$ なので、 $\frac{1}{2} m \cdot 2 g h + \frac{1}{2} k x_{0}^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$ から振幅 $A$ が求まる。

答えと解説

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\frac{m g}{k} + (\frac{m g}{k})^{2} + \frac{2 m g h}{k}

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(1) 板に当たる直前の速さ

板に当たるまで、小球は重力だけを受けて落下するので、力学的エネルギーが保存する。板に当たる直前の速さを $v_{0}$ とすると
$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = m g h よって v_{0}^{2} = 2 g h$

(2) 板に接しているあいだの単振動

板の質量は無視でき、衝突でエネルギーは失われないので、小球は速さ $v_{0}$ のまま、板とともにばねを縮めはじめる。ばねの縮みを $x$ （下向きを正）とすると、小球にはたらく力は重力 $m g$ と弾性力 $- k x$ の合力 $m g - k x$ である。つりあいの位置の縮みは
$x_{0} = \frac{m g}{k}$
で、 $X = x - x_{0}$ とおくと合力は $- k X$ となるので、小球はつりあいの位置を中心とする単振動をする。このとき、運動エネルギーと $\frac{1}{2} k X^{2}$ の和（単振動のエネルギー）が保存する。

(3) 振幅を求める

板に当たった瞬間は $x = 0$ 、すなわち $X = - x_{0}$ で、速さは $v_{0}$ である。最下点（速さ $0$ ）では $X = A$ （振幅）なので
$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} + \frac{1}{2} k x_{0}^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$
$A^{2} = x_{0}^{2} + \frac{m}{k} v_{0}^{2} = (\frac{m g}{k})^{2} + \frac{2 m g h}{k}$

(4) 縮みの最大値

縮みが最大になるのは単振動の最下点で、そのときの縮みは $x = x_{0} + A$ である。よって
$x_{m a x} = \frac{m g}{k} + (\frac{m g}{k})^{2} + \frac{2 m g h}{k}$

（確かめ: 重力の位置エネルギーとばねの弾性エネルギーを使った力学的エネルギー保存 $m g (h + x) = \frac{1}{2} k x^{2}$ を $x > 0$ について解いても同じ結果になる。）

別解

板の質量は無視できるので、小球が板に当たってもエネルギーは失われず、そのまま小球とばねが一体となって運動する。

ばねの縮みの最大値を $x$ とする。最大のとき小球は一瞬静止する。はなした位置から最も縮んだ位置までの下降距離は $h + x$ 。力学的エネルギー保存より（はなした位置と最下点の小球の運動エネルギーはどちらも 0）
$m g (h + x) = \frac{1}{2} k x^{2}$

整理して
$k x^{2} - 2 m g x - 2 m g h = 0$

$x > 0$ の解:
$x = \frac{2 m g + 4 m ^{2} g ^{2} + 8 k m g h}{2 k} = \frac{m g + m ^{2} g ^{2} + 2 k m g h}{k}$

検算: $h = 0$ なら $x = \frac{2 m g}{k}$ （静かに置いた場合の最大の縮み、つり合いの位置 $m g / k$ の 2 倍）で正しい。また $x = \frac{m g}{k} + (\frac{m g}{k})^{2} + \frac{2 m g h}{k}$ は、つり合いの位置を中心とする単振動の振幅が $(m g / k)^{2} + 2 m g h / k$ になることとも一致する。

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